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Zyklus (Funktionentheorie)

Aus Kefk.

Ein Zyklus ist eine Verallgemeinerung einer geschlossenen Kurve und dient in der Funktionentheorie vor allem der Berechnung von komplexen Kurvenintegralen.

Definition

Ein Zyklus $\Gamma=\sum\limits_{i=1}^N n_i\gamma_i$ ist eine formale Summe von ganzzahligen Vielfachen von stetigen Kurven in $\mathbb{C}$ mit der Bedingung, dass jeder Punkt $a\in\mathbb{C}$ unter Berücksichtigung der Vielfachheit $n i$ genauso oft als Anfangs- wie als Endpunkt der Kurven $γ i$ auftritt.

Das Integral längs eines Zyklus $Γ$ über einer integrierbaren Funktion $f$ ist definiert durch

$\int_\Gamma f:=\sum\limits_{i=1}^N n_i \int_{\gamma_i}f$ .

Die Spur ist die Vereinigung der Bilder der einzelnen Kurven, d.h.

$\operatorname{Spur}\,\Gamma:=\bigcup_{i=1}^N\operatorname{im}\,\gamma_i$ .

Ist $D\subseteq\mathbb{C}$ eine Teilmenge, dann heißt $Γ$ ein Zyklus in $D$ genau dann, wenn die Spur $\operatorname{Spur}\,\Gamma \subseteq D$ in $D$ liegt.

Die Windungszahl wird analog zu der einer geschlossenen Kurve definiert, nur unter Verwendung des oben definierten Integrals, d.h. für $z \not\in \operatorname{Spur}\,\Gamma$ schreibt man

$\operatorname{ind}_{\Gamma}(z):=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z}\in\mathbb{Z}$ .

Das Innere (Interior) eines Zyklus sind genau diejenigen Punkte, für die die Windungszahl nicht verschwindet:

$\operatorname{Int}\,\Gamma:=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : \operatorname{ind}_{\Gamma}(z)\neq 0\}$

Analog dazu ist das Äußere (Exterior) genau die Menge der Punkte, für die die Windungszahl verschwindet:

$\operatorname{Ext}\,\Gamma:=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : \operatorname{ind}_{\Gamma}(z)=0\}$

Ein Zyklus heißt nullhomolog in $D\subseteq\mathbb{C}$ genau dann, wenn das Innere $\operatorname{Int}\,\Gamma\subseteq D$ vollständig in $D$ liegt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Windungszahl für alle Punkte aus $\mathbb{C} \setminus D$ verschwindet.