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Zyklotronfrequenz

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Die Zyklotronfrequenz ist die Umlauffrequenz eines Elektrons im homogenen Magnetfeld.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeines

Die Zyklotronfrequenz stimmt mit der Umlauffrequenz des Wellenvektors des Elektrons auf der Zyklotronbahn überein. Sie ist proportional zur magnetischen Flussdichte B und gewöhnlich durch die Elektronmasse me in der Form f = \frac{|e|\cdot B}{2\pi\cdot m_e} ausgedrückt, wobei e die Elementarladung ist. Die Zyklotronfrequenz ist unabhängig vom Bahnradius und immer gleich der Larmorfrequenz. Der Name Zyklotronfrequenz stammt vom Teilchenbeschleuniger Zyklotron. Hier wird die Gleichheit der Umlauffrequenz gelandener Teilchen im Magnetfeld ausgenutzt.


Herleitung

Im Magnetfeld wirkt die Lorentzkraft als Zentripetalkraft und lenkt geladene Teilchen auf eine Kreisbahn ab. Ihre Gesamtgeschwindigkeit wird dabei nicht verändert, somit bleibt auch der Betrag der Lorentzkraft gleich. Es entsteht eine gleichförmige Kreisbewegung:

Fl = Fz
\Leftrightarrow e\cdot v\cdot B = \frac{m\cdot v^2}{r}

\Leftrightarrow e\cdot B = \frac{m\cdot v}{r} \qquad\mid v = \omega r = 2\pi fr

\Leftrightarrow e\cdot B = m\cdot 2\pi \cdot f

\Leftrightarrow f = \frac{e\cdot B}{2\pi \cdot m}

relativistische Effekte

Zu beachten ist, dass die Gleichung für große Geschwindigkeiten (v > 10% der Lichtgeschwindigkeit) nicht mehr gilt. Ursache ist die relativistische Zunahme der Masse des bewegten Teilchens.

Da ein Zyklotron mit konstanter Frequenz betrieben wird, lassen sich nur massereiche Teilchen auf hohe Energien beschleunigen.

Für die Umlauffrequenz eines schnelleren Elektrons im Magnetfeld gilt relativistisch: f = \frac{e \cdot B}{2\pi \cdot m_0}\cdot \sqrt{1 - \left(\frac{v^2}{c^2}\right)}

Weiteres

Als Zyklotron-Energie bezeichnet man \hbar\omega_c mit ωc = 2πf.

Anmerkung: Abhandlungen, die das Gaußsche CGS-System verwenden, definieren die Zyklotronfrequenz üblicherweise als \omega_c=\frac{e\cdot B}{m\cdot c} . Gleichzeitig wird dann als magnetische Länge \ell_B=\sqrt{\hbar c/eB} gesetzt. Häufig werden auf diese Weise Gleichungen, in denen das Magnetfeld B durch \hbar\omega_c und \ell_B ausgedrückt ist, formal identisch mit den entsprechenden Gleichungen im SI-System.

Wikipedia
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