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Zielmenge

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Im Kontext einer mathematischen Funktion f : A \to B, die Elemente einer Menge A auf Elemente einer Menge B abbildet, bezeichnet man B als Zielmenge der Funktion.

Häufig wird dafür auch das Wort Wertemenge oder Wertebereich benutzt; diese Wörter bezeichnen aber oft stattdessen die Bildmenge von f. Es besteht also Verwechslungsgefahr. Die Zielmenge ist nur der Vorrat für mögliche Werte von f – es ist nicht zwingend erforderlich, dass diese auch alle tatsächlich durch f angenommen werden. Die Menge der Werte, die als Funktionswert von f erscheinen, ist die Bildmenge.

Die Zielmenge ist ein unterscheidender Bestandteil einer Funktion. Funktionen mit gleichem Definitionsbereich und gleicher Funktionsvorschrift, aber verschiedener Zielmenge, können niemals gleich sein.

Beispiel

Die Funktion f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} ordne jedem Punkt der euklidischen Ebene seinen Abstand vom Nullpunkt zu. Es gilt also:

f(a,b) = \sqrt{a^2+b^2}

Die Zielmenge der Funktion ist \mathbb{R}, die Menge der reellen Zahlen. Da der Abstand nie negativ sein kann, werden nicht alle möglichen Werte angenommen. Die Bildmenge besteht genau aus den nichtnegativen reellen Zahlen (oft mit \mathbb{R}_0^+ bezeichnet).

Die Funktion g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+ mit g(a,b) := \sqrt{a^2+b^2} hat denselben Definitionsbereich, dieselbe Funktionsvorschrift und dieselbe Bildmenge wie f. Da aber die Zielmengen verschieden sind, gilt trotzdem f \ne g.

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