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Zerlegung der Eins

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In der Mathematik gibt es oft Situationen, in welchen zwischen einer lokalen und einer globalen Perspektive unterschieden werden muss, aber zwischen beiden hin- und hergewechselt werden soll. Zum Beispiel:

  • Um in der Analysis das Flächenintegral zu definieren, oder allgemein über Mannigfaltigkeiten zu integrieren, müssen Koordinaten gewählt werden, was nur lokal möglich ist. Der Integrand muss also so zerlegt werden, dass er lokal integrabel bleibt, außerhalb des Geltungsbereiches des Koordinatensystems aber zu Null wird.
  • In der Differentialgeometrie werden auf Flächen oder Mannigfaltigkeiten Vektorfelder konstruiert. Es gibt oft nur lokal gültige Konstruktionen, die aber zu einer globalen zusammengefügt werden sollen. Zum Beispiel soll das Normalenfeld einer Untermannigfaltigkeit auf die gesamte Mannigfaltigkeit fortgesetzt werden,...

Eine Zerlegung der Eins (auch: Unterteilung der Einheit oder Teilung der Eins) über einem topologischen Raum E ist eine Menge {fi} von stetigen Funktionen von E auf das Intervall [0,1], so dass für jeden Punkt x aus E gilt:

  • x hat eine Umgebung, in der nur endlich viele Funktionen einen von 0 verschiedenen Wert haben; und
  • die Summe aller Funktionswerte im Punkt x ist 1.

Die Zerlegung der Eins ist ein wichtiges Hilfsmittel der Analysis. Dort wird meist noch verlangt, dass die Funktionen differenzierbar sind und kompakten Träger haben. Damit kann dann eine Funktion g in Funktionen

g_i = g\cdot f_i

zerlegt werden, welche alle einen kompakten Träger haben. Ist hingegen eine Familie (gi) vorgegeben, welche nur auf den jeweiligen Trägern der fi definiert und differenzierbar sind, so ist die Summe

\sum g_i \cdot f_i

eine konvexe Linearkombination, überall definiert und differenzierbar.

In normalen Räumen und erst recht in parakompakten Hausdorff-Räumen ist die Zerlegung der Eins immer möglich.

Beispiele

Die Funktion

g(x)=\begin{cases} {\exp \left[-\frac{8}{7}\sqrt{\frac{10}{7}}\left( \frac{1}{1-x^2}+\frac{5}{9}\cdot x^2 \right) \right]}&|x|<1\\0&\mbox{sonst}\end{cases}

ist beliebig oft differenzierbar. Die damit konstruierte Funktion

\psi(x)= \frac{g(x)}{\sum_{k \in \Z}g(x-k)}=\frac{g(x)}{g(x-[x]-1)+g(x-[x])}

ist begrenzt, da der Nenner überall ungleich Null ist, und beliebig oft differenzierbar ([x] ist die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist). ψ ist eine beliebig oft differenzierbare Teilung der Eins. Es gilt:

\sum_{k \in \Z} \psi(x-k)=1
\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) dx = 1
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