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Zentrum (Algebra)

Das Zentrum einer Algebra oder eines Ringes ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra.

Zentrum einer assoziativen Algebra

Das Zentrum einer assoziativen Algebra A ist die kommutative Unteralgebra

$\mathrm Z(A)=\{z\in A\mid za=az\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ a\in A\}.$

Eine Algebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie kommutativ ist.

Das Zentrum einer Liealgebra $\mathfrak g$ ist das (abelsche) Ideal

$\mathfrak z(\mathfrak g)=\{Z\in \mathfrak g\mid[X,Z]=0\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ X\in\mathfrak g\}.$

Eine Liealgebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie abelsch ist.

Das Zentrum von $\mathfrak{gl}_n$ besteht aus den skalaren Vielfachen der Einheitsmatrix.
Für eine assoziative Algebra mit dem Kommutator als Lieklammer stimmen die beiden Zentrumsbegriffe überein.