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Zentrierte Quadratzahl

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Eine zentrierte Quadratzahl beziffert eine Anzahl von Kreisen, so dass ein Kreis in der Mitte so von Kreisen umgeben ist, das diese ein Quadrat bilden: Bild:Zentrierte Quadratzahl.PNG

Eine Formel zur Bildung der zentrierten Quadratzahl für n ist

1 + 4\cdot \frac{n\cdot (n+1)}{2}.

Dieser Formel kann man entnehmen, dass das zentrierte Quadrat für n um eins größer ist als das Vierfache der n-ten Dreieckszahl.

Bild:Zentrierte Quadratzahl3.PNG

Jede n.te zentirierte Quadratzahl mit n \ge 3 lässt sich als Summe von Dreieckszahlen erzeugen:

\frac{n(n+1)}{2} + 2\cdot \frac{(n+1)(n+2)}{2} + \frac{(n+2)(n+3)}{2}

Bild:Zentrierte Quadratzahl4.PNG

Eine weitere Formel für die n-te zentrierte Quadratzahl ist n2 + (n + 1)2.

Dieser Formel kann man entnehmen, dass eine zentrierte Quadratzahl als die Summe zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen darstellbar ist:

Bild:Zentrierte Quadratzahl2.PNG

Die ersten zentrierten Quadratzahlen sind 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925 und 1013. (Folge A001844 in OEIS)

Siehe auch

Wikipedia
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