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Zentralisator

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Der Zentralisator ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei G eine Gruppe. Es sei x \in G. Unter dem Zentralisator ZG(x) von x versteht man die Menge

Z_G(x):=\{g\in G\mid gx=xg\}

Es sei allgemeiner U eine Teilmenge von G. Unter dem Zentralisator ZG(U) von U versteht man die Menge

Z_G(U):=\{g\in G\mid gu=ug\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ u \in U\}

Eigenschaften

  • Unabhängig davon, ob man den Zentralisator eines Gruppenelementes oder einer Teilmenge betrachtet, bildet dieser eine Untergruppe von G, und zwar die größte, in der die Elemente dieser Menge zentral sind, d.h. im Zentrum dieser Untergruppe liegen (man beachte, dass das neutrale Element der Gruppe immer im Zentralisator enthalten ist, da es mit allen Elementen kommutiert).
  • Der Zentralisator der gesamten Gruppe G ist gerade das Zentrum von G. ZG(G) = Z(G)
  • Ein Element x \in G ist genau dann im Zentrum von G enthalten, wenn ZG(x) = G.
  • G operiere auf sich selbst durch Konjugation. Der Zentralisator eines Elementes ist dann gerade der Stabilisator bezüglich dieser Gruppenoperation.

Beispiele

Es sei G eine endliche Gruppe, x \in G. Es bezeichne \langle x\rangle die von x erzeugte zyklische Untergruppe. Es gilt dann: \langle x\rangle ist eine Untergruppe von ZG(x).

Verwandte Begriffe

Eng verwandt mit dem Begriff des Zentralisators ist der Begriff des Normalisators. In diesem Fall operiert die Gruppe auf der Menge ihrer Untergruppen durch Konjugation.

Wikipedia
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