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Zeitentwicklungsoperator

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Der Zeitentwicklungsoperator ist ein quantenmechanischer Operator mit dem sich die zeitliche Entwicklung eines physikalischen Systems berechnen lässt. Üblicherweise wird er als U geschrieben und hat folgende Eigenschaften:

Definierende Eigenschaften:

  • Haupteigenschaft: |\psi(t)\rangle = U(t)|\psi(0)\rangle

damit folgt physikalisch:

daraus folgende Eigenschaften:

Der infinitesimale Zeitentwicklungs-Operator hat die Form U(t_0+{\rm d}t,t_0)=1-\frac{iH{\rm d}t}{\hbar}. Ein nichtinfinitesimaler Zeitentwicklungs-Operator kann je nachdem, ob der Hamiltonoperator zeitabhängig ist und mit sich selbst zu unterschiedlichen Zeiten kommutiert, unterschiedliche Formen annehmen. Im einfachsten Fall ist H unabhängig von der Zeit und es gilt U(t)=\mathrm{e}^{\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}}.

Herleitung des Zeitentwicklungsoperators für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren

Durch Anwenden des Zeitentwicklungsoperators auf die Wellenfunktion zum Zeitpunkt t = 0 erhält man die zeitabhängige Wellenfunktion:

|\psi(t)\rangle = U(t)|\psi(0)\rangle


Einsetzen der zeitabhängigen Wellenfunktionin in die Schrödingergleichung:

\mathrm{i}\hbar\cdot\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle

\Rightarrow \mathrm{i}\hbar\cdot\frac{\partial}{\partial t}U(t)|\psi(0)\rangle=HU(t)|\psi(0)\rangle


Durch Umformen erhält man folgende Differentialgleichung 1. Ordnung, deren Lösung der Zeitentwicklungsoperator für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren ist.

\frac{U'(t)}{U(t)}=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}H \Rightarrow

U(t)=\mathrm{e}^{\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}}


Der Zeitenwicklungsoperator ist unitär, da der Hamiltonoperator ein selbstadjungierter Operator ist (H + = H).

U(t)^+ U(t)=\mathrm{e}^{\frac{iH(t-t_0)}{\hbar}}\mathrm{e}^{\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}}=\mathrm{e}^0=1

Literatur

  • Modern Quantum Mechanics, J.J. Sakurai, Addison Wesley, 1994
Wikipedia
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