Zeitentwicklungsoperator

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(Weitergeleitet von Zeitentwicklungs-Operator)

Der Zeitentwicklungsoperator ist ein quantenmechanischer Operator mit dem sich die zeitliche Entwicklung eines physikalischen Systems berechnen lässt. Üblicherweise wird er als $U$ geschrieben und hat folgende Eigenschaften:

Definierende Eigenschaften:

Haupteigenschaft: $|\psi(t)\rangle = U(t)|\psi(0)\rangle$

damit folgt physikalisch:

Kontinuität: $U (t 0, t 0) = 1$
Schrödinger-Gleichung: $i \hbar\frac{\rm d U(t)}{\rm d t}=\hat H U(t)$

daraus folgende Eigenschaften:

Unitarität zum Erhalt der Gesamtwahrscheinlichkeit
Komposition: $U (t 2, t 0) = U (t 2, t 1) U (t 1, t 0)$

Der infinitesimale Zeitentwicklungs-Operator hat die Form $U(t_0+{\rm d}t,t_0)=1-\frac{iH{\rm d}t}{\hbar}$ . Ein nichtinfinitesimaler Zeitentwicklungs-Operator kann je nachdem, ob der Hamiltonoperator zeitabhängig ist und mit sich selbst zu unterschiedlichen Zeiten kommutiert, unterschiedliche Formen annehmen. Im einfachsten Fall ist H unabhängig von der Zeit und es gilt $U(t)=\mathrm{e}^{\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}}$ .

Herleitung des Zeitentwicklungsoperators für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren

Durch Anwenden des Zeitentwicklungsoperators auf die Wellenfunktion zum Zeitpunkt $t = 0$ erhält man die zeitabhängige Wellenfunktion:

$|\psi(t)\rangle = U(t)|\psi(0)\rangle$

Einsetzen der zeitabhängigen Wellenfunktionin in die Schrödingergleichung:

$\mathrm{i}\hbar\cdot\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle$

$\Rightarrow \mathrm{i}\hbar\cdot\frac{\partial}{\partial t}U(t)|\psi(0)\rangle=HU(t)|\psi(0)\rangle$

Durch Umformen erhält man folgende Differentialgleichung 1. Ordnung, deren Lösung der Zeitentwicklungsoperator für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren ist.

$\frac{U'(t)}{U(t)}=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}H \Rightarrow$

$U(t)=\mathrm{e}^{\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}}$

Der Zeitenwicklungsoperator ist unitär, da der Hamiltonoperator ein selbstadjungierter Operator ist $(H + = H)$ .

$U(t)^+ U(t)=\mathrm{e}^{\frac{iH(t-t_0)}{\hbar}}\mathrm{e}^{\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}}=\mathrm{e}^0=1$

Literatur

Modern Quantum Mechanics, J.J. Sakurai, Addison Wesley, 1994

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