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Zahlenpalindrome bzw. Palindromzahlen sind Zahlen, deren Zahlensystemdarstellung von vorne und hinten gelesen den gleichen Wert hat, z.B. 1331 oder 742247, aber auch 21 zur Basis 2 (=10101). Manchmal wird auch die allgemeine Schreibweise a₁a₂a₃ ...|... a₃a₂a₁ für Zahlen mit der Basis a verwendet.

Der Begriff Palindrom wurde in die Mathematik aus der Sprachwissenschaft übernommen.

Inhaltsverzeichnis 1 Palindrome im Dezimalsystem 2 Erzeugung von Zahlenpalindromen 2.1 Quadrieren von 1-er Zahlen 2.2 Umkehrung und Addition 2.3 Palindrome bei Transformation des Zahlensystems 3 Siehe auch 4 Weblinks

Palindrome im Dezimalsystem

Alle Zahlen des Dezimalsystems mit nur einer Ziffer sind Palindromzahlen.

Es gibt neun zweistellige Palindromzahlen:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Es gibt 90 dreistellige Palindromzahlen

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, ..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

sowie ebenfalls 90 vierstellige Palindromzahlen:

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

Damit gibt es unter 10⁴ (also 10.000) genau 199 Zahlenpalindrome. Insgesamt gibt es 1099 Zahlenpalindrome, die kleiner sind als 10⁵ (also 100.000). Die Anzahl der Palindrome kleiner als 10ⁿ folgt dieser Zahlenreihe: 1998 (für n=6),10998 (für n=7 usw.),19998,109998,199998,1099998, ...

Erzeugung von Zahlenpalindromen

Quadrieren von 1-er Zahlen

Im Dezimalsystem erhält man durch

([1]_n)²

Palindromzahlen, wobei [1]_n die Kurzschreibweise für die n-fache Wiederholung der 1 ist und n von 1 bis 9 reicht.

Umkehrung und Addition

Eine weitere Möglichkeit ist das iterative Schema, bei dem eine beliebige positive Zahl (die nicht selber schon ein Palindrom ist) bis zum Erreichen eines Palindroms durch folgenden Algorithmus gedreht wird:

1. Drehe die Zahl um (z. B. 84 zu 48).
2. Addiere die umgedrehte Zahl zu ihrer Ausgangszahl (48 + 84 = 132)
3. Drehe die neu entstandene Zahl erneut um (132 zu 231)
4. Addiere erneut beide Zahlen (132 + 231 = 363)

Bei den meisten Zahlen entsteht nach einer bestimmten Anzahl an Rechenschritten (bis 10.000 maximal 24 Schritte) ein Zahlenpalindrom. Allerdings existieren auch Zahlen, die sich dieser Transformation widersetzen und bei denen bisher keine Palindrombildung zu finden ist. Solche Zahlen nennt man Lychrel-Zahlen; die bekannteste Lychrel-Zahl ist 196. Man bezeichnet den obigen Algorithmus daher auch als 196-Algorithmus.

Palindrome bei Transformation des Zahlensystems

Zahlenpalindrome können auch bei der Transformation von Dezimalzahlen in ein anderes Zahlensystem entstehen. Allerdings sind solche Zahlenpalindrome recht selten.

Bei der Umsetzung ins Hexadezimalsystem gibt es zwischen 10 und einer Milliarde nur 4!

Dezimalzahl	Hexzahl
53	35
371	173
5141	1415
99481	18499

Bei Oktalzahlen gibt es zwischen 9 und einer Milliarde gerade mal eins!

Dezimalzahl	Oktalzahl
1527465	5647251

Siehe auch

• Zahlentheorie
• Zyklische Zahl
• Lychrel-Zahl
• Mirpzahl
• Primzahlpalindrom

Weblinks

• http://home.cfl.rr.com/p196/ (engl.)
• http://www.mathematische-basteleien.de/palindrom.htm
• http://free.pages.at/neuenkirchen/palindrom

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