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Z-Transformation

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Bild:Disambig-dark.svg Dieser Artikel behandelt die Z-Transformation für zeitdiskrete Signale. Die statistische z-Transformation wird unter Normalverteilung beschrieben.

Die Z-Transformation wandelt ein zeitdiskretes Signal im Zeitbereich, also eine zeitliche Abfolge von im allgemeinen komplexen Zahlen, in ein komplexes diskretes Signal im Frequenzbereich um. Die zeitdiskrete Z-Transformation ist das Analogon zur Laplace-Transformation zeitkontinuierlicher Signale. Ursprünglich wurde sie als „Laplace-Transformation von Abtastfunktionen“ (siehe Dobesch) eingeführt. Dabei steht die Z-Transformation in einer ähnlichen Beziehung zur Zeitdiskreten Fourier-Transformation (nicht zu verwechseln mit der diskreten Fourier-Transformation) wie die Laplace-Transformation zur Fourier-Transformation.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Bilaterale Z-Transformation

Die bilaterale Z-Transformation eines Signals x[n] ist die formale Laurent-Reihe X(z):

X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \

wobei n alle ganzen Zahlen durchläuft. Unter gewissen Konvergenzbedingungen ist die Z-Transformierte eine holomorphe Funktion auf einem Kreisring in der komplexen Zahlenebene, unter schwächeren Bedingungen immerhin noch eine quadratintegrierbare Funktion auf dem Einheitskreis.

Unilaterale Z-Transformation

Wenn x[n] nur für nichtnegative n Werte hat, kann die unilaterale Z-Transformation definiert werden:

X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \

In der Signalverarbeitung wird die unilaterale für kausale Signale verwendet.

Eigenschaften

  • Linearität. Die Z-Transformation von zwei linear verknüpften Signalen ist die lineare Verknüpfung der beiden z-transformierten Signale.
Z({a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}) = a_{1}Z({x_{1}[n]}) + a_{2}Z({x_{2}[n]})\!
  • Verschiebung. Wird das Signal im Zeitbereich um k nach rechts verschoben, so muss die Z-Transformierte mit z−k multipliziert werden. Bei der Verschiebung nach links kommen noch weitere Terme hinzu.
Z({x[n-k]}) = z^{-k} Z({x[n]})\!
Z({x[n+k]}) = z^{k} (F(z) - \sum_{i=0}^{k-1} f_i z^{-i})
  • Faltung. Die Faltung von zwei Signalen im Zeitbereich entspricht dem Produkt im Frequenzbereich.
Z({x[n]}*{y[n]}) = Z({x[n]})Z({y[n]})\!
  • Differentiation .
Z({n x[n]}) = \frac{-z \partial Z({x[n]})}{\partial z}

Zusätzliche Eigenschaften der unilateralen Z-Transformation

Es sei fn = f(n) und F(z) deren Z-Transformierte. Weiter sei folgende Schreibweise für die Transformation der diskreten Zeitfunktion in die Bildebene definiert.

f_{n} \circ - \bullet F(z)

Dann gelten folgende Regeln:

\begin{matrix} \mbox{Verschiebungssatz} & f_{n-k} & \circ - \bullet & z^{-k} F(z) \\ & f_{n+k} & \circ - \bullet & z^{k} (F(z) - \sum_{i=0}^{k-1} f_i z^{-i})\\ & f_{n+1} & \circ - \bullet & z^{1} (F(z) - f_0) \\ & f_{n+2} & \circ - \bullet & z^{2} (F(z) - f_0 - f_1 z^{-1}) \\ \mbox{D} \mathrm{\ddot{a}} \mbox{mpfungssatz} & a^{-n} \cdot f_n & \circ - \bullet & F(a \cdot z) \\ \mbox{Ableitung d. Bildf.} & n \cdot f_n & \circ - \bullet & -z \frac{dF(z)}{dz} \\ \mbox{Spektraler} & W(z) &=& U(z) \cdot V(z) \\ \mbox{Multiplikationssatz} & w_n &=& \sum_{k=0}^n u_{n-k} \cdot v_k = \sum_{k=0}^n u_{k} \cdot v_{n-k} \\ \mbox{Differenzensatz} & \Delta f_n &=& f_{n+1} - f_n \\ & \Delta^2 f_n &=& \Delta f_{n+1} - \Delta f_n = f_{n+2} - 2 f_{n+1} + f_n \\ & \Delta^2 f_n & \circ - \bullet & (z-1)^2 F(z) - z ((z-1) f_0 + \Delta f_0) \\ & \Delta^k f_n & \circ - \bullet & (z-1)^k F(z) - z \sum_{i=0}^{k-1} (z-1)^{k-i-1} \Delta ^i f_0 \\ \mbox{Summensatz} & \sum_{k=0}^n f_k & \circ - \bullet & z \frac{F(z)}{z-1} \\ \mbox{1. Grenzwertsatz} & f_k &=& \lim_{z \to \infty} z^k \cdot (F(z) - \sum_{n=0}^{k-1} z^{-n} f_n \\ & f_0 &=& \lim_{z \to \infty} F(z) \\ \mbox{2. Grenzwertsatz} & \lim_{n \to \infty} f_n &=& \lim_{z \to 1} (z-1) F(z) \\ \mbox{Stabilit} \mathrm{\ddot{a}} \mbox{t} & |z_{PK}| < 1 && \rightarrow \mbox{asympt. Stabilit} \mathrm{\ddot{a}} \mbox{t} \end{matrix}

Inverse Z-Transformation

Die inverse Z-Transformation kann mit der Formel

x[n] \,=\, Z^{-1} \{X(z) \} \,=\, \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz \

berechnet werden, wobei C eine beliebige geschlossene Kurve um den Ursprung ist, die im Konvergenzbereich von X(z) liegt.

Die (unilaterale) Z-Transformation ist zeitdiskret und entspricht der Laplace-Transformation für zeitkontinuierliche Signale.

Inverse unilaterale Z-Transformation

Voraussetzungen: F(z) ist holomorph in einem Gebiet | z | > R und \lim_{z \to \infty} F(z) < \infty .

Mit Residuum

f(0) = \lim_{z \to \infty} F(z),
f(nT) = \sum_{i=1}^{m} \operatorname{Res}_{z=z_i} (F(z) z^{n-1}) für n\geq 1

Mit Laurent-Reihe

Der Integrant f(z) \cdot z^{n-1} wird in eine Laurent-Reihe entwickelt. Die Zeitfunktion ist dann der Koeffizient -1 der Laurent Reihe, also f(nτ) = A − 1.

Bei der Entwicklung in eine Reihe sind der binomische Lehrsatz und grundlegende Eigenschaften der Binomialkoeffizienten nützlich.

Beispiel 1:
\frac{z^n}{z-1} \,=\, \frac{(1+ (z-1))^n}{z-1} \,=\, \sum_{k=0}^n {n \choose k} 1^{n-k} (z-1)^{k-1} \,=\, \sum_{k=-1}^{n-1} {n-1 \choose k+1} 1^{n-k} (z-1)^{k},
A_{-1} \,=\, {n-1 \choose 0} \cdot 1^{n-1} (z-1)^0 \,=\, 1.
Beispiel 2:
\frac{e^{zt}}{z-a} \,=\, \frac{e^{at}}{z-a} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{((z-a)t)^k}{k!} \,=\, e^{at} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(z-a)^{k-1} \cdot t^k }{k!},
A_{-1} \,=\, e^{at} \frac{ t^0 }{0!} \,=\, e^{at}.

Bei wesentlicher Singularität

f(n\tau) \,=\, \frac{1}{n!} \cdot \left( \frac{d^n}{dz^n} f(1/z) \right)_{z=0}.

Berechnungsverfahren

Z-Transformationen mit einem begrenzten Bereich von n und einer begrenzten Anzahl von z-Werten können effizient mit dem Bluestein-FFT-Algorithmus berechnet werden. Die Diskrete Fourier-Transformation (kurz: DFT) ist ein Spezialfall der Z-Transformation bei der z auf dem Einheitskreis liegt.

Anwendung

In der Digitalen Regelungstechnik wird die Z-Transformation zur exakten Auslegung von Reglern verwendet. Dabei wird im zeitdiskreten Bereich die Abtastzeit und die Rechentotzeit berücksichtigt, die man im kontinuierlichen Bereich nicht genau modellieren kann. Die gewöhnlichen P, I und D-Regler haben dabei ihre digitale Entsprechung in Form einer Differenzengleichung. Darüberhinaus kann der digitale Regler aber auch ein beliebiges, der Strecke angepasstes Verhalten haben, ohne dabei auf die kontinuierlichen Regler beschränkt zu sein.

Korrespondenzen

x_n = \begin{cases} 0 & \mbox{fuer } n < 0 \\ 1 & \mbox{fuer } n \geq 0 \end{cases} \frac{z}{z - 1}
an \frac{z}{z - a}
δn 1
eαn \frac{z}{z - e^{\alpha}}
cos(ωn) \frac{z(z - \cos(\omega))}{z^2 - 2z\cos(\omega)+1}
sin(ωn) \frac{z\sin(\omega)}{z^2 - 2z\cos(\omega)+1}
x_n = \begin{cases} 0 & \mbox{fuer } n < 0 \\ n & \mbox{fuer } n \geq 0 \end{cases} \frac{z}{(z - 1)^2}
x_n = \begin{cases} 0 & \mbox{fuer } n < 1 \\ a^{n - 1} & \mbox{fuer } n \geq 1 \end{cases} \frac{1}{z - a}

Literatur

Wikipedia
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