Das Kefk Network Wiki befindet sich im Testbetrieb.

Yang-Mills-Theorie

Aus Kefk.

Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Yang-Mills-Theorie ist eine sogenannte nichtabelsche Eichtheorie, die zur Beschreibung der starken und schwachen Wechselwirkung herangezogen wird. Hingegen ist die Elektrodynamik zum Beispiel eine abelsche Eichtheorie.

Die Yang-Mills-Theorie geht von der Yang-Mills-Wirkung SYM aus. Wendet man hier das Prinzip der kleinsten Wirkung auf die Potentialvariablen an, erhält man die Yang-Mills-Gleichungen.

Das bedeutet, dass man die Euler-Lagrange-Gleichungen von

\mathbf S_\mathrm{YM} = \frac{1}{4g^2}\int \operatorname{Tr}\left[ *F\wedge F \right]

zu bilden hat. Die Größe F heißt Yang-Mills-Feldstärke. Die Größe * F ist die zu F duale Yang-Mills-Feldstärke. Eine Formel für die Yang-Mills-Feldstärke gewinnt man aus der sogenannten zweiten Maurer-Cartan-Strukturgleichung, die einen Zusammenhang A (genauer gesagt dessen lokale Darstellung) eines Hauptfaserbündels (übernimmt hier die Rolle des Eichpotentials) mit der Krümmung F desselben (übernimmt hier die Rolle der Feldstärke) in Verbindung bringt.

F = \mathrm{d}A + A\wedge A

Dabei stellt dA die äußere Ableitung und "A \wedge A" das äußere Produkt von Differentialformen dar. Weiterhin ist A eine liealgebra-wertige 1-Form über dem Hauptfaserbündel und F eine liealgebra-wertige 2-Form über diesem Hauptfaserbündel.

Physikalisch betrachtet man meist eine kompakte, halbeinfache Liegruppe G, etwa SU(N) oder SO(N), deren anti-hermitische Generatoren folgende Kommutationsrelation erfüllen:

\left[ T_\alpha, T_\beta \right] = f_{\alpha\beta}^\gamma \, T_\gamma

Die f_{\alpha\beta}^\gamma heißen Strukturkonstanten der Liegruppe. Ein Element U von G in der Nähe des Einselements wird dann durch die Gleichung

U = e^{- \theta^\alpha\, T_\alpha}

dargestellt.

Wir stellen uns ein Dirac-Feld ψ (etwa die Wellenfunktion eines Elektrons, im Falle der elektromagnetischen Theorie) vor, welches sich unter U\in G durch

\psi \to U\,\psi bzw. \overline{\psi} \to \overline{\psi}\, U^\dagger

transformiert. Die Lagrange-Funktion, die die Bewegungsgleichungen des Teilchens nach Variation ergibt, sieht üblicherweise wie folgt aus:

\mathcal{L} = \overline{\psi}\, \left[ i\, \gamma^\mu \left( \partial_\mu + g\, A_\mu \right) + m \right] \psi

wobei g die oben angegebene Kopplungskonstante ist. Diese Lagrange-Funktion beschreibt die Kopplung des Feldes A an die Materie ψ. Der Ausdruck \partial_\mu + g\, A_\mu =: \nabla_\mu wird im Standardmodell kovariante Ableitung oder minimale Kopplung genannt. Die Variablen Aμ bilden im Wesentlichen die Komponenten der liealgebra-wertigen 1-Form A.

Die Feldgleichungen, die man aus der Variation der Wirkung SYM erhält, sind durch

\mathcal{D}F = \mathrm{d}F + g\, A \wedge F = 0

gegeben.

Wenn die Yang-Mills-Theorie zur Beschreibung der starken Wechselwirkung eingesetzt wird (eine SU(3)-Eichtheorie), dann bildet A das Gluonfeld und die Tα stellen die acht Gluonenarten dar. (SU(3) hat 8 Generatoren, üblicherweise werden die sog. Gell-Mann-Matrizen in einer Darstellung der SU(3) verwendet.)

Die Behandlung der Yang-Mills-Theorie wurde vom Clay Mathematics Institute in ihre Liste der Millennium-Probleme aufgenommen.

Von „http://www.kefk.org/wiki/Yang-Mills-Theorie“
Persönliche Werkzeuge
Andere Sprachen