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Wronski-Determinante

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Mit Hilfe der Wronski-Determinante, die nach dem polnischen Mathematiker Josef Hoëné-Wroński benannt wurde, kann man skalare Funktionen auf lineare Unabhängigkeit testen, wenn diese hinreichend oft differenzierbar sind. Dies kann insbesondere beim Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung ein nützliches Hilfsmittel sein. Für n reell- oder komplexwertige Funktionen f_1,\dots,f_n auf einem Intervall I ist die Wronski-Determinante definiert durch

W(f_1, \dots , f_n )(t) = \begin{vmatrix} f_1(t) & f_2(t) & \dots & f_n(t) \\ f^{(1)}_1(t) & f^{(1)}_2(t) & \dots & f^{(1)}_n(t) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ f^{(n-1)}_1(t) & f^{(n-1)}_2(t) & \dots & f^{(n-1)}_n(t) \end{vmatrix}, \qquad t\in I,

wobei in der ersten Zeile die Funktionen stehen und in den weiteren Zeilen die hochgestellten Zahlen in Klammern die erste bis (n − 1)-ste Ableitung bezeichnen.

Die Berechnung der Wronski-Determinante von linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung kann durch die Anwendung der Abelschen Identität vereinfacht werden.

Untersuchung auf lineare Unabhängigkeit

Ist die Determinante für irgendeinen Wert t aus dem untersuchten Intervall I ungleich Null, so sind die Funktionen auf dem Intervall linear unabhängig.

Umgekehrt formuliert:

Sind die Funktionen auf einem Intervall linear abhängig, so verschwindet die Determinante für alle t aus dem Intervall.

Vorsicht: Wenn die Wronski-Determinante an jedem Punkt t eines Intervalls I gleich 0 ist, folgt daraus nicht die lineare Abhängigkeit der Funktionen.

Ein Beispiel hierfür sind die auf den reellen Zahlen definierten Funktionen

f_1(t)=\begin{cases} 0&\mbox{falls }t\le0,\\ t^2&\mbox{falls }t>0,\end{cases}\qquad\mbox{und}\qquad f_2(t)=\begin{cases} t^2&\mbox{falls }t\le0,\\ 0&\mbox{falls }t>0.\end{cases}

Es gilt für alle t \in \mathbb{R} gilt: W(f_1, f_2 )(t) = \begin{vmatrix} f_1(t) & f_2(t)\\ f'_1(t) & f'_2(t) \end{vmatrix} = 0, aber \lambda\ f_1(t)+\mu\ f_2(t)=0 führt für t\ =1 zu \lambda\ =0 und für t\ =-1 zu \mu\ =0, was die lineare Unabhängigkeit der beiden Funktionen bedeutet.

Beweis

Der Beweis wird für die erste Formulierung des Satzes durchgeführt:

Man nimmt also an, dass es ein t_0 \in I gibt sodass die Determinante ungleich 0 ist. Für Matrizen mit Determinante ungleich 0 gilt, dass die Spaltenvektoren, in diesem Fall die Funktionen mit ihren Ableitungen, linear unabhängig sind.

Es gilt also für jede Linearkombination der Funktionen f_1(t),\dots,f_n(t) dass mindestens eine der ersten (n-1) Ableitungen oder die Funktion selbst im Punkt t0 ungleich 0 ist.

Damit unterscheidet sich aber jede Linearkombination der Funktionen f_1(t),\dots,f_n(t) im Punkt t0 von der 0-Funktion und daher sind die Funktionen f_1(t),\dots,f_n(t) linear unabhängig auf dem Intervall I.

Literatur

Von „http://kefk.org/wiki/Wronski-Determinante“
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