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Wilson-Primzahl

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Wilson-Primzahlen (nach Sir J. Wilson) sind Primzahlen, für die eine stärkere Form des Satzes von Wilson gilt.

Der Satz von Wilson besagt, dass für jede Primzahl p gilt:

(p-1)!\equiv-1\pmod p

(für die Notation siehe Fakultät (Mathematik) sowie Kongruenz (Zahlentheorie)).

Eine Primzahl p heißt Wilson-Primzahl, wenn sogar

(p-1)!\equiv-1\pmod{p^2}

gilt. Eine äquivalente Formulierung ist: p ist eine Wilson-Primzahl, wenn

\frac{(p-1)! + 1}{p} \equiv 0 \pmod p

gilt. Die linke Seite, die nach dem Satz von Wilson eine ganze Zahl ist, wird in diesem Kontext auch als Wilson-Quotient W(p) bezeichnet.

Bisher ist nur für die Primzahlen 5, 13 und 563 bekannt, dass es sich dabei um Wilson-Primzahlen handelt. Sollte noch eine größere Wilson-Primzahl existieren, so ist sie größer als 5 · 108.

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