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Wigner-Eckart-Theorem

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Das Wigner-Eckart-Theorem (nach Eugene Paul Wigner und Carl Henry Eckart) ist ein Hilfsmittel für die Berechnung der Matrixelemente eines Tensoroperators, wenn dessen Symmetrieeigenschaften bekannt sind. Das Wigner-Eckart-Theorem darf nicht mit dem Wigner-Theorem verwechselt werden.

Für die definierenden Transformationseigenschaften eines Tensoroperators gilt:

U^\dagger T_q^{(k)} U= \sum_{q'=-k}^k D_{qq'}^{(k)*} T_{q'}^{(k)}

wobei U die unitäre Gruppentransformationsmatrix und D_{qq'}^{(k)} eine irreduzible Darstellung dieser Gruppe in der Basis | α,jm > ist.

Def: Das Matrixelement eines Tensoroperators ausgedrückt in den Eigenzuständen des Drehimpulsoperators erfüllt folgende Gleichung:

\langle\alpha', j'm'|T_q^{(k)}|\alpha, jm\rangle = \langle jk; j'm'|jk; mq\rangle\frac{\langle\alpha'j'||T^{(k)}||\alpha j\rangle}{\sqrt{2j+1}}

wobei das reduzierte Matrixelement (gekennzeichnet durch die 2 Striche beiderseits von T(k)) unabhängig von m und m' sowie q ist. Darin besteht auch der Vorzug, denn dieses von m und m' unabhängige Matrixelement wird ein Mal berechnet und ist dann für alle anderen Matrixelemente gleich und ermöglicht somit eine einfache Berechnung beliebiger Matrixelemente.

Hierbei ist T(k) ein Tensor des Rangs k, j der Gesamtdrehimpuls, m die zugehörige magnetische Quantenzahl und α alle weiteren zur Beschreibung des Systems nötigen Quantenzahlen des Zustandes.

Für Rotationssymmetrie sind die \langle jk; mq|jk; j'm'\rangle die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

Literatur

  • Eckart, C.: The Application of Group Theory to the Quantum Dynamics of Monatomic Systems. Rev. Mod. Phys. 2, 305-380, 1930.
  • Sakurai, J.J.: Modern Quantum Mechanics, Addison-Wesley, 239-240, 1994
  • Wigner, E. P.: Einige Folgerungen aus der Schrödingerschen Theorie für die Termstrukturen. Z. Physik 43, 624-652, 1927.
Wikipedia
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