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Wiener-Filter

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Das Wiener-Filter ist ein Filter zur Signalverarbeitung, entwickelt von Norbert Wiener in den 1940ern und publiziert 1949[1]. Es führt eine optimale Rauschunterdrückung durch.

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften

Wiener-Filter werden durch die folgenden Eigenschaften beschrieben [2]:

  1. Voraussetzung: Das Signal und das additive Rauschen gleichen stochastischen Prozessen mit bekannter Spektralverteilung oder bekannter Autokorrelation und Kreuzkorrelation
  2. Fehlerkriterium: Minimale quadratische Abweichung
  3. Ein optimaler Filter lässt sich mit Hilfe skalarer Methoden finden

Modelleigenschaften

Als Eingangssignal des Wiener-Filters wird ein Signal s\left(t\right) gestört durch ein additives Rauschen n\left(t\right) vorausgesetzt. Das Ausgangssignal x\left(t\right) ergibt sich durch die Faltung mit der Filterfunktion g\left(\tau\right):

x(t) = g(\tau) * \left(s(t) + n(t)\right)

Fehler e(t) = s\left(t + d\right) - x(t) und quadratische Fehler e^2(t) = s^2\left(t + d\right) - 2s(t + d)x(t) + x^2(t) ergeben sich aus der Abweichung des Ausgangssignals vom zeitversetzten Eingangssignal s\left(t + d\right). Abhängig von dem Wert d des Zeitversatzes können unterschiedliche Problemstellungen betrachtet werden:

Stellt man x\left(t\right) als Faltungsintegral dar:

x(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)\left[s(t - \tau) + n(t - \tau)\right]d\tau},

so ergibt sich der Erwartungswert des quadratischen Fehlers zu:

E(e^2) = R_s(0) - 2\int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{x\,s}(\tau + d)d\tau} + \int\limits_{-\infty}^{\infty}{\int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)g(\theta)R_x(\tau - \theta)d\tau}d\theta}

wobei

  • \,\!R_s die Autokorrelation der Funktion \left.s(t)\right.
  • \,\!R_x die Autokorrelation der Funktion \left.x(t)\right.
  • R_{x\,s} die Kreuzkorrelation der Funktionen \left.x(t)\right. und \left.s(t)\right. sind

Wenn das Signal s\left(t\right) und das Rauschen n\left(t\right) unkorreliert sind (und damit die Kreuzkorrelation gleich Null ist) ergeben sich folgende Vereinfachungen

  • R_{x\,s} = R_s
  • \,\!R_x = R_s + R_n

Das Ziel ist es nun, \left.E(e^2)\right. durch Bestimmung eines optimalen g\left(t\right) zu minimieren.

Stationäre Lösungen

Das Wiener-Filter hat jeweils eine Lösung für den kausalen und den antikausalen Fall.

Antikausale Lösung

G(s) = \frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x(s)}

Unter der Voraussetzung, dass g\left(t\right) optimal ist, vereinfacht sich die MMSE Gleichung zu

E(e^2) = R_s(0) - \int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{x,s}(\tau + d)d\tau}.

Die Lösung g\left(t\right) ist die inverse beidseitige Laplacetransformation von \left.G(s)\right..

Kausale Lösung

G(s) = \frac{H(s)}{S_x^{+}(s)}

Wobei

  • \left.H(s)\right. die positive Lösung der inversen Laplace Transformation von \frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x^{-}(s)},
  • S_x^{+}(s) die positive Lösung der inversen Laplace Transformation von \left.S_{x}(s)\right. und
  • S_x^{-}(s) die negative Lösung der inversen Laplace Transformation von \left.S_x(s)\right. ist.

Siehe auch

Referenzen

  1. ↑ Wiener, Norbert (1949), Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. New York: Wiley. ISBN 0-262-73005-7
  2. ↑ Brown, Robert Grover and Patrick Y.C. Hwang (1996) Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. 3 ed. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-12839-2
Wikipedia
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Von „http://www.kefk.org/wiki/Wiener-Filter“
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