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Weyl-Gleichung

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Dei Weyl-Gleichung(en) , nach Hermann Weyl benannt, sind von besonderer Bedeutung in der Theorie der schwachen Wechselwirkung. Da die Dirac-Darstellung der Lorentzgruppe reduzibel ist, kann man eine Darstellung finden, in der die 4er-Spinoren sich als Bispinoren von 2er-Spinoren schreiben lassen:

\Psi= \begin{pmatrix} \Psi_L\\ \Psi_R \end{pmatrix}

Die 2er-Spinoren ΨL und ΨR sind die rechts- und linkshändigen Weyl-Spinoren. Für die Weyl-Spinoren nimmt die Diracgleichung folgende Form an

\left(i\gamma^\mu \part_\mu-m\right)\Psi= \begin{pmatrix} -m& i\left(\part_0+\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)\\ i\left(\part_0-\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)&-m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Psi_L\\ \Psi_R \end{pmatrix} =0.

wobei σi die Pauli Matrizen sind.

Die beiden Darstellungen der Lorentzgruppe ΨL und ΨR mischen in der Diracgleichung aufgrund des Massenterms miteinander. Für den Fall m = 0 jedoch zerfällt die Diracgleichung in die zwei separate Weyl-Gleichungen für links- und rechtshändige Spinoren

i\left(\part_0-\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)\Psi_L=0;

i\left(\part_0+\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)\Psi_R=0.

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