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Wesentliches Supremum
Aus Kefk.
Der Begriff des wesentlichen Supremums oder essentiellen Supremums wird in der Mathematik bei der Einführung der Lp-Räume für den Fall 
benötigt. Da bei der Konstruktion dieser Funktionenräume Funktionen, die sich nur auf Nullmengen voneinander unterscheiden, als identisch betrachtet werden, kann man nur eingeschränkt von Funktionswerten in einzelnen Punkten sprechen. Der Begriff der beschränkten Funktion muss dementsprechend angepasst werden.
Definition: wesentlich beschränkt (wesentliches Supremum)
Seien 
der Lebesgue-Maßraum und X ein Banachraum. Eine messbare Funktion 
heißt wesentlich beschränkt, wenn es eine Zahl 
gibt, so dass
ist, das heißt, es gibt eine Modifikation von f auf einer Nullmenge, so dass die entstehende Funktion im klassischen Sinne beschränkt ist.
Jedes solche M wird eine wesentliche Schranke genannt. Als wesentliches Supremum, in Zeichen 
, bezeichnet man
.
Für eine stetige oder abschnittsweise stetige Funktion ergibt sich die Identität zum klassischen Supremum.
Mit 
wird die Menge aller wesentlich beschränkten Funktionen bezeichnet. Es sei mit 
die Menge der wesentlich beschränkten Funktionen mit Schranke 0 bezeichnet. Dann ist 
die Menge der Äquivalenzklassen.
ist ein linearer Raum mit Norm
![\| [f] \|_{L^\infty} = \mathrm{ess} \sup \|f\|_X , \ f \in [f]](/w/images/math/6/a/0/6a0ca7a8f36e6334dc6f87c063ddff1a.png)
.
Diese Norm ist unabhängig von der Wahl des Repräsentanten f in der Äquivalenzklasse [f]. Mit dieser Norm wird zum Banachraum.
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