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Wendepunkt
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Ein Wendepunkt 
ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an welchem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Ein Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in einer Linkskurve oder umgekehrt.
Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt.
Die Ermittlung von Wendepunkten ist Bestandteil einer Kurvendiskussion.
Ein Wendepunkt an der Stelle xW liegt vor, wenn die erste Ableitungsfunktion der differenzierbaren Funktion f an der Stelle xW ein relatives Extremum besitzt. Daraus lassen sich mehrere Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten einer Funktion f ableiten.
Die Tangente durch einen Wendepunkt wird Wendetangente genannt (Im Bild rot).
Inhaltsverzeichnis |
Notwendiges Kriterium zur Bestimmung von Wendepunkten
Voraussetzungen:
1. f ist bei xW zweimal differenzierbar
2. xW ist Wendestelle
Hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten
Die Funktion f sei in einer Umgebung von xW dreimal differenzierbar. Falls gilt 
, so ist xW Wendestelle. Wenn f''' > 0, dann ist xW Rechts-Links-Wendestelle und wenn f''' < 0, dann ist xW Links-Rechts-Wendestelle.
Falls die erste Ableitung an der Stelle xW existiert und die zweite Ableitungsfunktion f''(x) an der Stelle xW das Vorzeichen wechselt, so ist xW ein Wendepunkt. Wenn f'(xW) an xW vom Positiven in das Negative wechselt, so ist xW eine Links-Rechts-Wendestelle oder wenn f'(xW) vom Negativen in das Positive wechselt, so ist xW Rechts-Links-Wendestelle.
Ein Spezialfall der Wendestelle ist der Sattelpunkt.
Beispiel
Dann ist die zweite Ableitung der Funktion:
Dann muss
gesetzt werden. Das Ergebnis ist x=2. Zugleich ist
und daher ungleich 0, also handelt es sich um einen Wendepunkt.
Siehe auch: Kurvendiskussion
Besondere Fälle
1. 
Der Graph dieser Funktion ändert bei x=0 sein Krümmungsverhalten (Übergang von Rechts- in Linkskrümmung).
Dennoch hat die Funktion bei x=0 keinen Wendepunkt, da die erste Ableitung an der Stelle x=0 nicht existiert. Der Graph von f' hat daher für x=0 kein Extremum.
2. 
Diese Funktion besitzt in x=0 einen Wendepunkt, obwohl die 2. Ableitung dort nicht existiert.
Jedoch hat der Graph der 1. Ableitungsfunktion f ' bei x=0 ein Minimum.
Weblinks
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