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Wellenimpedanz

Aus Kefk.

Mit Wellenimpedanz, sehr oft als Wellenwiderstand bezeichnet, wird eine Eigenschaft eines Mediums bezeichnet, in dem sich eine physikalische Welle fortpflanzt.
Man kann ihn sich anschaulich etwa als die Härte oder Weichheit vorstellen, die das Medium der sich ausbreitenden Welle entgegensetzt. Dadurch stehen z. B. Kraft und Bewegung (bei akustischen Wellen) oder Strom und Spannung (bei elektromagnetischen Wellen) in einem bestimmten Verhältnis zueinander, das Wellenwiderstand genannt wird.

Reflexionen

An den Stellen, an denen sich der Wellenwiderstand ändert, kommt es zu Reflexionen. Die Extremfälle solcher Änderungen des Wellenwiderstandes sind offene und geschlossene Enden. Hierzu lassen sich folgende Analogien finden:

Art der Welle	Offenes Ende	Geschlossenes Ende
Elektromagn. Welle im Kabel	nicht verbunden	kurzgeschlossen
Hohlleiter	endet offen	leitfähig verschlossen
Schwingendes Seil/Saite	Ende hängt frei	Ende ist befestigt
Schall im Rohr	Ende offen	Deckel/Stopfen

In allen diesen Fällen (mit Ausnahme des offenen Hohlleiters, der einen Großteil der elektromagnetischen Welle abstrahlt) findet eine nahezu vollständige Reflexion statt (Totalreflexion). Im Kurzschlussfall findet dabei ein Vorzeichenwechsel (auch Phasensprung bzw. Phasendrehung von 180° genannt) statt.

Durch mehrere Reflexionen (z. B. an beiden Kabelenden) können dabei stehende Wellen entstehen.

Beispiele für abgeschwächte Reflexion

Beispiele für Änderungen des Wellenwiderstandes mit einer abgeschwächten Reflexion:

Akustische Welle
- Eine Schallwelle trifft aus der Luft auf dem Wasser auf.
Elektromagnetische Welle
- Zwei Koaxialkabel mit unterschiedlichen Geometrien werden zusammengelötet.
Mechanische Welle
- Das Ende eines zum Schwingen angeregten Seiles ist mit Gewichten beschwert oder mit einer Feder an einem festen Punkt befestigt.

Beispiele für totale Reflexion

Akustische Welle
- Eine Schallwelle trifft aus der Luft auf eine Wand (Echo).
Elektromagnetische Welle
- Ein Koaxialkabel wird am Ende kurzgeschlossen
- Ein Koaxialkabel wird am Ende offen gelassen (hierbei wird ein Bruchteil der Welle nicht reflektiert, sondern über das offene Kabelende abgestrahlt)
Mechanische Welle
- Ein Seil an der Wand befestigt.

Beispiele für reflexionsfreie Abschlüsse

Akustische Welle
- Schalltrichter eines Grammofones
- Exponentialtrichter bzw. -Horn und Kugelwellenhorn beim Horn (Lautsprecher).
Elektromagnetische Welle
- Der Quellwiderstand eines Senders stimmt mit der Impedanz des Kabels (z. B. 50 Ohm) und der Antenne (ebenfalls 50 Ohm) überein (siehe Impedanzanpassung).
- Ein Hohlleiter wird mit einem Exponentialtrichter abgeschlossen - es gibt an dieser Stelle einen kontinuierlichen Übergang vom Wellenwiderstand im Hohlleiter zu demjenigen des freien Raumes.
Mechanische Welle
- Ein Seil wird über eine Feder an der Wand befestigt. Die Feder absorbiert die Wellenenergie.

Elektromagnetische Wellen

Bild:Koaxialleitung schema offen.png

Darstellung einer am Ende offen gelassenen Koaxialleitung

Bild:Koaxialleitung schema kurzgeschlossen.png

Darstellung einer am Ende kurzgeschlossenen Koaxialleitung

Bild:Koaxialleitung schema abgeschlossen.png

Darstellung einer mit ihrem Wellenwiderstand abgeschlossenen Koaxialleitung

Der Wellenwiderstand ist eine Kenngröße von längshomogenen Leitungen , wie Hohlleitern, Kabeln oder Einzeldrähten, die zur Beschreibung der Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen auf ihnen wichtig ist.
Die Berücksichtigung des Ausbreitungsverhaltens ist immer dann wichtig, wenn die übertragenen Signale hochfrequent sind im Vergleich zur Signallaufzeit auf der Leitung oder hochfrequente Anteile enthalten. Das ist z. B. der Fall bei

hohen Frequenzen (z. B. Koaxialkabel in der HF-Technik oder Digitalsignale mit steilen Flanken)
langen Leitungen (z. B. 50-Hz-Hochspannungsnetze über Kontinente hinweg)

Für homogene Leitungen ist der Wellenwiderstand eine reelle Größe (z. B. 50 Ω bei gängigen Koaxialkabeln). Bei inhomogenen Leitungen oder Fehlanpassung kann das Verhalten eines Kabels durch einen komplexen Vierpol beschrieben werden.

Der Wellenwiderstand ist unabhängig von der Leitungslänge, kann jedoch leicht frequenzabhängig sein (Dispersion). Die Frequenzabhängigkeit wird durch das Dielektrikum des Kabels hervorgerufen und muss bei Breitband-Signalübertragungen berücksichtigt werden.

Der Wellenwiderstand ist nicht zu verwechseln mit dem ohmschen Leitungswiderstand, der die (Wärme-)Verluste beschreibt, wenn die Leitung von einem Strom durchflossen wird.

Den Wellenwiderstand eines Kabels kann man sich als Eingangswiderstand einer endlos langen Leitung vorstellen. Je enger die Leiter beieinander sind, je dicker sie sind und je größer die Kapazität zwischen ihnen, desto geringer ist der Wellenwiderstand.

Die Wellenimpedanz ist in der Leitungstheorie definiert als:

$Z_w=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}$ .

Abschluss

Den Wellenwiderstand im Sinne eines Bauteils gibt es nicht. „Mit dem Wellenwiderstand abgeschlossen“ bedeutet, dass am entsprechenden Ende der Leitung ein Abschlusswiderstand von der Größe des Wellenwiderstandes angebracht ist. Das kann bei hohen Frequenzen ein ohmscher Widerstand sein, da dann der Wellenwiderstand der Leitung reell ist.

Schickt man einen Spannungsimpuls in eine Leitung, die am Ausgang nicht mit der entsprechenden Impedanz abgeschlossen ist, tritt dort eine Reflexion auf – vergleichbar mit einem akustischen Echo. Entspricht die Quellimpedanz der Signalquelle nicht dem Wellenwiderstand der Leitung, wird das "Echo" auch am Eingang reflektiert usw.

Die Übereinstimmung der Impedanzen von Quelle, Last und Wellenwiderstand ist deshalb fast immer erwünscht, um Reflexionen zu vermeiden. Den reflexionsfreien Abschluss kann man sich so erklären, dass zwar eine Reflexion auftritt, diese aber aufgrund der Gleichheit mit dem Widerstand des Kabels zu gleichen Teilen in Phase und um 180° gedreht auftritt und sich somit auslöscht.

Ersatzschaltbild einer elektrischen Leitung

Im Folgenden ist das Ersatzschaltbild einer elektrischen Leitung mit der infinitesimalen Länge dx angegeben:

Bild:Koaxialleitung ersatzschaltbild.png

Die dabei auftretenden Größen sind auf die Länge dx bezogene Beläge: Der Induktivitätsbelag L' , der Kapazitätsbelag C' , der Widerstandsbelag R' und der Leitwertbelag G' . Mit der Spannung U und dem Strom I an der Leitung lassen sich mit dieser Ersatzschaltung die beiden Differentialgleichungen der homogenen Leitung bestimmen zu:

$\frac{dU}{dx} = -(R' + j\omega L') I$

$\frac{dI}{dx} = -(G' + j\omega C') U$

Die erste Gleichung besagt, dass die Spannung entlang der Leitung um so rascher abnimmt, je größer die Stromstärke an der betrachteten Leitungsstelle x ist. Die zweite Gleichung besagt, dass die Stromstärke durch die Leitung um so schneller abnimmt, je größer die Spannung der betrachteten Stelle x ist.

Bei der Lösung dieser beiden Differentialgleichungen wird unter anderem der Wellenwiderstand als Abkürzung definiert.

Herleitung des Wellenwiderstandes aus der Leitungsgleichung

Differenziert man obige erste Leitungsgleichung nach x und setzt dann den Ausdruck für dI/dx aus der zweiten Gleichung ein, bekommt man eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

$\frac{d^2U}{dx^2} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C') U$

welche durch einen Lösungsansatz der Form

U = a e γ x

gelöst werden kann. Durch Koeffizientenvergleich lässt sich $γ$ bestimmen zu:

$\gamma = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}$

Damit ergeben sich zwei Lösungen für die Spannung U im Abstand x vom Leitungsanfang

U = a 1 e - γ x + a 2 e γ x

mit den von den Randbedingungen abhängigen Koeffizienten a₁ und a₂. Der komplexe Parameter $γ$ wird Fortpflanzungskonstante oder auch Ausbreitungskonstante genannt. Sie ist im Allgemeinen von der Frequenz abhängig und nur bei bestimmten Leitungstypen in ihrem komplexen Wert konstant.

Die Stromstärke an der Stelle x der Leitung lässt sich aus den Leitungsgleichungen bestimmen zu:

$I = - \frac{1}{R' + j \omega L'} \frac{dU}{dx}$

Durch Einsetzen in die Lösung für die Spannung ergibt sich damit für den Strom I:

$I = \frac{a_1}{Z_w} e^{-\gamma x} + \frac{a_2}{Z_w} e^{\gamma x}$

Dabei ist der neu auftretende Parameter Z_w der Wellenwiderstand in der allgemeinen Form:

$Z_w = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}$

Frequenzabhängigkeit des Wellenwiderstandes

Der Wellenwiderstand einer homogenen elektrischen Leitung ist nach obiger Gleichung im allgemeinen komplex und frequenzabhängig. Bei niedrigen Frequenzen ist der Wellenwiderstand stark von der Frequenz abhängig, komplexwertig und kann bei Vernachlässigung von L' und G' in Näherung beschrieben werden als:

$Z_w = \sqrt{\frac{R'}{j\omega C'}}$

Ein Anwendungsfall dieser Gleichung ist die aus einem Widerstand und Kondensator bestehenden Leitungsnachbildung (Leitungsabschluss) in der Gabelschaltung bei analogen Telefonen zwecks Echounterdrückung.

Der Wellenwiderstand nähert sich für hohe Frequenzen einem konstanten, frequenzunabhängigen reellen Wert an, d.h. der imaginäre Anteil wird 0. Hohe Frequenzen sind in diesem Kontext jene Frequenzen, ab denen der ohmsche Widerstandsbelag und der Querleitbelag gegenüber dem frequenzabhängigen Term aus kapazitiven bzw. induktiven Belag der Leitung vernachlässigt werden kann. Der Wellenwiderstand der Leitung kann dann allein durch den kapazitiven und induktiven Belag mit folgender Gleichung bestimmt werden:

$Z_w = \sqrt{\frac{L'}{C'}}$

In der Praxis und bei herkömmlichen Leitungen kann in vielen Fällen ab Frequenzen von 20 kHz aufwärts mit einem konstanten und rein reellen Wellenwiderstand gerechnet werden. Typischerweise liegt dann der reelle Wellenwiderstand je nach Leiteranordnung zwischen einigen 10 Ohm und einigen 100 Ohm.

Bei dem Grenzfall Gleichstrom (0 Hz) hingegen verschwinden die beiden frequenzabhängigen Terme und es ist der sehr kleine Querleitbelag G' der Leitung dominant. Damit wird der Wellenwiderstand einer Leitung bei der Frequenz 0 Hz sehr groß. Typische Werte des dann rein reellen Wellenwiderstandes im Gleichstromfall liegen im Bereich von 100 kOhm bis zu einigen 10 MOhm. Er wird dann durch folgende Gleichung beschrieben:

$Z_w = \sqrt{\frac{R'}{G'}}$

Messen

Man kann den Wellenwiderstand z. B. ermitteln, indem man den Wechselstromwiderstand der offenen Leitung ( $Z 0$ ) und den Wechselstromwiderstand der kurzgeschlossenen Leitung ( $Z k$ ) misst und das geometrische Mittel aus beiden Größen bildet.

Der Wellenwiderstand ( $Z w$ ) ist dann:

$Z_{\rm w} = \sqrt{Z_0 \cdot Z_{\rm k}}$

Anstelle der Bezeichnung $Z W$ wird oft auch die Bezeichnung $Z L$ (L für Leitung) verwendet.

Berechnen

Wellenimpedanz des Vakuums

Breitet sich eine elektromagnetische Welle in Vakuum aus, so berechnet sich der Wellenwiderstand (auch Feldwellenwiderstand oder Freiraumwellenwiderstand genannt) zu:

$Z_{\rm w} = \sqrt \frac{\mu_0}{\varepsilon_0} \approx 120 \pi~\Omega \approx 376{,}73~\Omega$

Wellenwiderstand einer Doppelleitung

Für Wechselstrom berechnet sich die (komplexe) Wellenimpedanz einer Doppelleitung aus den Leitungskonstanten als:

$Z_W=\sqrt{\frac{R'+\mathrm j\omega L'}{G'+\mathrm j\omega C'}}$

mit $L'$ = Induktivitätsbelag, $C'$ = Kapazitätsbelag, $R'$ = Widerstandsbelag, $G'$ = Ableitungsbelag und $j 2 = - 1$ (imaginäre Einheit).

Wird die Leitung als verlustfrei angenommen, vereinfacht sich die Gleichung zu:

$Z_W=\sqrt{\frac{L'}{C'}}$

Eine Leitung ist verlustfrei, wenn keine Wirkwiderstände $R'$ und Leitwerte $G'$ vorhanden sind. Der Einfluss des Widerstandsbelages auf die Leitungsimpedanz kann bei nicht zu dünnen und nicht zu niederimpedanten Leitungen mit gängigen Wellenwiderständen von 50…300 Ohm vernachlässigt werden. Bei hohen Frequenzen (GHz) steigen $R'$ aufgrund des Skineffektes und auch $G'$ aufgrund des dielektrischen Verlustfaktors an. Auch dann haben sie jedoch eine untergeordnete Auswirkung auf den Wellenwiderstand.

Wellenwiderstand konkreter Leitungsformen

Der Wellenwiderstand lässt sich auch aus der Geometrie des Leiters und der Isolierung berechnen.

Für koaxiale (unsymmetrische) Leiter (Koaxialkabel) gilt:

Bild:Img31.gif

$Z_{\rm w} = \frac{59,94\Omega}{\sqrt{\varepsilon_{\rm r}}}\cdot \ln \left( \frac{D}{d}\right)$

mit $\varepsilon_{\rm r}$ als relative Dielektrizitätskonstante des Isolationsmaterials.

Für die symmetrische Zweidrahtleitung bzw. Lecherleitung gilt:

Bild:Img33.gif

$Z_{\rm w}=\frac{120\Omega}{\sqrt{\varepsilon_{\rm r}}}\cdot{\rm arcosh}\left(\frac{a}{d}\right)$

Standardwerte

Übliche Koaxialkabel haben einen Wellenwiderstand von 50 bis 75 Ω. Bei diesem Wellenwiderstand ist, abhängig vom verwendeten Dielektrikum, die Dämpfung des Kabels optimal.

Ein Wellenwiderstand von Z_w = 50 Ω ist optimal für Koaxialleitungen mit dem Dielektrikum Polyethylen mit $ε r = 2,25$ (allgemeine Nachrichtentechnik).

Bei einem Wellenwiderstand von Z_w = 75 Ω ist die Dämpfung für ein schaumstoffisoliertes Kabel optimal (Antennenkabel, Kabelfernsehen).

Akustische Wellen

Für Schallwellen ergibt sich der Wellenwiderstand (s. a. Schallimpedanz) des übertragenden Mediums aus seiner Dichte und der Schallgeschwindigkeit (Ausbreitungsgeschwindigkeit) dort zu

$Z = \rho \frac{}{} c$

Akustische Wellen erfahren in verschiedenen Medien unterschiedliche "Widerstände"; das ist die "Kennimpedanz" dieser Werkstoffe.

Medium	Wellenwiderstand in $\frac{\rm kg}{\rm m^2 \cdot s}$
Wasserstoff	110
Luft	413,5 bei 20 °C (Schallkennimpedanz)
Wasser	1,48 · 10⁶ bei 0 °C
Quecksilber	19,7 · 10⁶

An der Grenze zweier Medien mit den Wellenwiderständen Z₁ und Z₂ wird die Schallintensität teils reflektiert, teils durchgelassen. Der Reflexionsgrad ist dann

$\alpha_r = \frac{(Z_1-Z_2)^2}{(Z_1+Z_2)^2}$

der Transmissionsgrad ist

$\alpha_t = \frac{4 Z_1 Z_2}{(Z_1+Z_2)^2}$

Siehe auch

Literatur

Küpfmüller, K., Kohn, G., Theoretische Elektrotechnik und Elektronik, Eine Einführung, Springer, 16., vollst. neu bearb. u. aktualisierte Aufl., 2005, ISBN 3-540-20792-9
Martin Gerhard Wegener: Moderne Rundfunk-Empfangstechnik. Franzis-Verlag, München 1985, ISBN 3-7723-7911-7

Weblinks

Von „http://www.kefk.org/wiki/Wellenimpedanz“