Wasserpendel

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Ein Wasserpendel ist im Allgemeinen ein U-förmiges Rohr, in dem die Wassersäule schwingen kann.

Bild:Wasserpendel.png

U-Rohr mit ausgelenkter Wassersäule

Die rücktreibende Kraft eines Wasserpendels ist die Gewichtskraft

$F = - m g$

der überstehenden Wassersäule. Dabei gilt:

$m = 2 y A ρ$	Masse der überstehenden Wassersäule
$A = π r 2$	Querschnittsfläche der Wassersäule
$ρ$	Dichte der Flüssigkeit
g	Fallbeschleunigung

Bild:Sin gnuplot.png

Verlauf der Auslenkung auf die Amplitude y₀ normiert, Anfangsphase φ = 0 und x = ωt

Mit dem 2. Newtonschen Gesetz, $F=m_{\rm ges} \cdot \ddot y$ , erhält man die Differentialgleichung

$-2y A \rho g =m_{\rm ges} \cdot \ddot y$

bzw.

$\ddot y + \frac{2 A \rho g}{m_{\rm ges}} \cdot y\ =\ 0$

Die Lösung der Differentialgleichung ist eine harmonische Schwingung:

$y = \hat y \sin(\omega t + \varphi) \qquad \mathrm{mit} \quad \omega^2 = \frac{2A\rho g}{m_{\rm ges}}$

da $m ges = A ρ l$

folgt daraus: $\omega^2 = \frac{2g}{l}$

da $T = \frac{2\pi}{\omega}$

folgt hier: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{2g}}$

Die Schwingungsdauer ist also abhängig von der Länge der Wassersäule und der Gravitationskraft.

$ω$ :	Kreisfrequenz
$\hat y$ :	Amplitude
$\varphi$ :	Anfangsphase
$m ges$ :	Gesamtmasse der Flüssigkeitssäule
$l$ :	Länge der gesamten Wassersäule
$T$ :	Schwingungsdauer
$t$ :	Zeit

Bei einer genaueren Behandlung sind Reibung mit der Wand des Rohres und die innere Reibung der Flüssigkeit zu betrachten, die beide die Schwingung dämpfen.

Siehe auch: Pendel, Fadenpendel, Magnetisches Pendel, Federschwingung, Oszillator.

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