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Inverse Normalverteilung

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Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß-Verteilung oder Wald-Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der Brownschen Molekularewegung mit Drift v > 0 und Streuungskoeffizient λ > 0 ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus a > 0 invers normalverteilt mit den Parametern \left(\frac{a}{v},\frac{a^{2}}{\lambda^{2}}\right).

siehe auch: Lévy-Prozess

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine stetige Zufallsvariable X genügt der inversen Normalverteilung mit den Parametern λ > 0 (Ereignisrate) und μ > 0 (Mittelwert), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\displaystyle): f(x)=\begin{cases}\displaystyle \left(\frac{\lambda}{2\pi x^3}\right)^{\frac{1}{2}}e^{\displaystyle -\frac{\lambda(x-\mu)^2}{2\mu^2x}} & x > 0 \\ 0 & x\leq 0 \end{cases}

besitzt.

Bild:InverseG.png

Eigenschaften

Erwartungswert

Die Normalverteilung besitzt den Erwartungswert

\operatorname{E}(X) = \mu .

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog zu

\operatorname{Var}(X) = \frac{\mu^3}{\lambda}.

Standardabweichung

Daraus erhält man für die Standardabweichung

\sigma = \sqrt{\frac{\mu^3}{\lambda}}

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{\mu}{\lambda}}.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

\operatorname{v}(X) = 3\sqrt{\frac{\mu}{\lambda}}.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

\phi_{X}(s) = e^{\frac{\lambda}{\mu}\left(1-\sqrt{1-\frac{2\mu^2is}{\lambda}}\right)}.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Normalverteilung ist

m_{X}(s) = e^{\frac{\lambda}{\mu}\left(1-\sqrt{1-\frac{2\mu^2s}{\lambda}}\right)}.

Reproduzierbarkeit

Sind X_1, \dots, X_n Zufallsvariable mit inverser Normalverteilung mit den Parametern λ und μ, dann ist die Größe \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i} wieder eine Zufallsvariable mit einer inverse Normalverteilung, aber mit den Parametern nλ und nμ.

Wikipedia
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Von „http://www.kefk.org/wiki/Inverse_Normalverteilung“
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