Dichtefunktion

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Eine Dichtefunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) (engl.: probability density function (pdf)) dient in der Mathematik der Beschreibung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ausprägungen einer stetigen Zufallsvariablen können (im Gegensatz zum diskreten Fall der Wahrscheinlichkeitsfunktion) nicht angegeben werden, denn die Wahrscheinlichkeiten für jede einzelne Ausprägung müssen streng genommen 0 gesetzt werden. Es lassen sich nur Wahrscheinlichkeiten $f (x) d x$ dafür angeben, dass die Werte innerhalb eines Intervalls $d x$ um $x$ liegen. Die Funktion $f (x)$ heißt dann Dichtefunktion. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable Werte zwischen $a$ und $b$ annimmt, wird dann allgemein definiert als das Integral über diese Funktion mit den Integrationsgrenzen $a$ und $b$ .

Beispielsweise fragt man nicht, wie viele Personen exakt 1,75 Meter groß sind, sondern z. B., wie viele Personen zwischen 1,75 und 1,76 m groß sind. Denn die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person auf beliebig viele Nachkommastellen genau 1,75 Meter groß ist, ist theoretisch und praktisch gleich Null (=>Nullmenge).

Durch Integration über ein nach unten unendliches Intervall erhält man die Verteilungsfunktion. Eine Zufallsvariable $X$ heißt genau dann stetig verteilt oder kontinuierlich verteilt, wenn die dazugehörige Verteilungsfunktion stetig ist.

Auch für stetige Verteilungen lassen sich Momente angeben, die wichtigsten sind der Erwartungswert und die Varianz.

Definition

Eine integrierbare Funktion $f$ heißt (Wahrscheinlichkeits-)Dichte oder Dichtefunktion der Zufallsvariable $X$ , wenn

$\int_a^b f(x) \, {\rm d}x = \operatorname{P}(a\le X\le b)$ .

Mathematisch gesehen ist die Funktion $f$ somit eine Dichte (siehe Satz von Radon-Nikodym) der Verteilung von $X$ bezüglich des Lebesgue-Maßes. Eine solche Dichte existiert genau dann, wenn

$P(X \in N) = 0$

für jede Borel-Nullmenge $N$ (Satz von Radon-Nikodym).

Die Stetigkeit der Verteilungsfunktion bzw. die Eigenschaft $P (X = x) = 0$ für alle $x$ ist hierfür notwendig, aber nicht hinreichend. Beispielsweise hat eine unendliche Dezimalzahl zwischen 0 und 1, deren Ziffern durch einen Würfel bestimmt werden (etwa 0,5364142...), eine stetige Verteilungsfunktion, aber keine Dichte, da die Ziffern 7, 8, 9, 0 nicht vorkommen (vgl. Cantor-Menge).

Eigenschaften

Zusammenhang von Verteilungsfunktion und Dichtefunktion

Wenn die Verteilungsfunktion $F$ stetig differenzierbar ist, dann definiert ihre Ableitung eine Dichtefunktion

$f = F^\prime=\frac{\operatorname{d}F(x)}{\operatorname{d}x}$ .

Beispiel:

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Verteilungsfunktion und Dichtefunktion der Lognormalverteilung (mit $μ = 0$ )

Normierung

Die Fläche unter der Dichtefunktion muss immer den Inhalt 1 besitzen, d. h.

$\int_{-\infty}^\infty f(x) \, {\rm d}x = 1$ .

Mehrdimensionale Zufallsvariable

Der Begriff der Verteilungsfunktion kann auch auf mehrdimensionale Zufallsvariablen, d.h. Zufallsvariablen, die Vektorwerte annehmen, erweitert werden: Hier ist in der Notation $F(x)=P(X\leq x)\,$ das $x\,$ ein Vektor und das $\leq\,$ -Zeichen komponentenweise zu lesen. $F\,$ ist also hierbei eine Abbildung von $\R^n\,$ in das Intervall [0,1]. Wenn $F\,$ eine differenzierbare Funktion ist, entsteht die Dichte durch partielle Differentiation: