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Vektorraum

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Ein Vektorraum (auch linearer Raum) ist eine mathematische Struktur (insbesondere auch algebraische Struktur), die in fast allen Zweigen der Mathematik verwendet wird. Eingehend betrachtet werden Vektorräume in der Linearen Algebra.

Die einzelnen Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren. Addiert man Vektoren oder multipliziert sie mit einer skalaren Zahl, dann ist das Ergebnis wieder ein Vektor desselben Vektorraums. Vektoren können nicht nur die aus der Geometrie bekannten Gebilde sein, sondern auch abstraktere Objekte wie Funktionen oder Matrizen.

Da die skalaren Zahlen, mit denen man einen Vektor multiplizieren kann, einem Körper entstammen, ist ein Vektorraum immer ein Vektorraum „über“ einem bestimmten Körper. Man spricht beispielsweise von einem Vektorraum über den reellen Zahlen. In den meisten Anwendungen legt man diese oder die komplexen Zahlen zugrunde.

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren, die es erlaubt, jeden Vektor durch eindeutige Koordinaten zu beschreiben. Dadurch wird das Rechnen in Vektorräumen erleichtert. Die Anzahl der Basisvektoren wird Dimension des Vektorraums genannt.

Inhaltsverzeichnis

Formale Definition

Ein Vektorraum über einem Körper K oder kurz K-Vektorraum ist eine abelsche Gruppe (V, + ) auf der zusätzlich eine Multiplikation mit einem Skalar aus K erklärt ist.

\cdot:K \times V \to V

Die Skalarmultiplikation muss dabei für alle u,v\in V und \alpha,\beta\in K die folgenden Bedingungen erfüllen:

Assoziativität
\alpha \cdot (\beta \cdot v) = (\alpha \cdot \beta) \cdot v
Distributivgesetze
\alpha \cdot (u + v) = \alpha \cdot u + \alpha \cdot v
(\alpha + \beta) \cdot v = \alpha \cdot v + \beta \cdot v
Neutralität der 1 des Körpers K
1 \cdot v = v

Anders ausgedrückt ist ein K-Vektorraum ein K-Linksmodul, dessen Grundring K ein Körper ist.

Anmerkungen

  • Die Addition der abelschen Gruppe (V, + ) heißt Vektoraddition, ihr neutrales Element Nullvektor.
  • Die Distributivgesetze garantieren die Verträglichkeit von Vektoraddition und Skalarmultiplikation.
  • Obwohl die Multiplikation im Körper K und die Skalarmultiplikation nicht verwechselt werden dürfen, werden sie üblicherweise beide mit demselben Zeichen „\cdot“ bezeichnet. Oft lässt man das Multiplikationszeichen sogar ganz weg.

Erste Eigenschaften

Für alle \alpha \in K und v\in V gilt:

  • (-\alpha) \cdot v = - (\alpha \cdot v) = \alpha \cdot (-v).
  • \alpha \cdot v = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \alpha =0 \or v =0.

Die Gleichung v + x = w ist für alle v,w \in V eindeutig lösbar; die Lösung ist x = w + ( − v).

Beispiele

Euklidische Ebene

Ein anschaulicher Vektorraum ist die 2-dimensionale Euklidische Ebene \R^2 mit den Pfeilklassen (Verschiebungen) als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren.

\vec v = ( 2 , 3 ) ist die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben,
\vec w = ( 3 ,-5 ) die Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten.

Die Summe zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung:

\vec v + \vec w = ( 5 ,-2 ), d.h. 5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten.

Der Nullvektor \vec 0 = ( 0 , 0 ) entspricht keiner Verschiebung.

Durch die Streckung der Verschiebung \vec v mit einem Skalar a = 3 aus der Menge der reellen Zahlen erhalten wir das Dreifache der Verschiebung:

a \cdot \vec v = 3 \cdot ( 2 , 3 ) = ( 6 , 9 ).

Raum der affinen Funktionen

Ein anderer Vektorraum ist der Raum der affinen Funktionen auf den reellen Zahlen. Dies sind die Funktionen der Form

f:\R\to\R,\;x\mapsto a\cdot x + b

mit reellen Zahlen a und b. Anschaulich gesprochen sind dies alle Funktionen, deren Graph eine Gerade ist. In dieser Anschauung erzeugt unser Raum alle Geraden bis auf die genau senkrecht stehenden. Wählen wir beispielhaft zwei affine Funktionen

f(x) = 2x + 3 , g(x) = 3x − 5,

so sehen wir, wie deren Summe wieder eine affine Funktion ergibt:

f(x) + g(x) = 2x + 3 + 3x − 5 = (2 + 3)x + (3 − 5) = 5x − 2

Der Nullvektor ist die konstante Funktion

0 = 0x + 0, die alle Punkte auf die Null abbildet.

Mit einem Skalar a = 3 aus der Menge der reellen Zahlen ergibt die Skalarmultiplikation

a \cdot f(x) = 3 \cdot (2x + 3) = (3 \cdot 2)x + (3 \cdot 3) = 6x + 9 .

Vektorraum der Polynome

Die Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper bilden mit der üblichen Addition und der Multiplikation mit einem Element des Körpers einen Vektorraum. Das Gleiche gilt jeweils für die Polynome deren Grad nach oben beschränkt ist. Beispielsweise ist die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 4

a + b \cdot x + c \cdot x^2 + d \cdot x^3 + e \cdot x^4

ein Vektorraum der Dimension 5. Eine Basis ist \{1,\ x,\ x^2,\ x^3,\ x^4\}.

Spezielle Vektorräume

Euklidischer Vektorraum
Ein euklidischer Vektorraum ist ein Vektorraum mit positiv definitem Skalarprodukt. Er ist ein Spezialfall eines Prähilbertraums und auch Spezialfall eines Hilbertraums.
Funktionenraum
Ein Funktionenraum ist ein Vektorraum, dessen Elemente Funktionen sind. Funktionenräume sind Betrachtungsgegenstand der Funktionalanalysis und meist unendlichdimensional.
Normierter Raum
Ein normierter Raum ist ein Vektorraum, in dem Vektoren eine Länge (Norm) besitzen.
Prähilbertraum
Ein Prähilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum, auf dem ein inneres Produkt (Skalarprodukt oder hermitesche Form) definiert ist. In einem solchen Raum kann man Begriffe wie Länge und Winkel definieren.
Topologischer Vektorraum
Ein topologischer Vektorraum über einem topologischen Körper K ist ein topologischer Raum V mit einer kompatiblen K-Vektorraumstruktur, d.h. die Vektorraumoperationen {+}\colon V\times V\to V und {\cdot}\colon K\times V\to V sind stetig.
Unitärer Vektorraum
Ein unitärer Vektorraum ist ein Vektorraum mit positiv definiter hermitescher Form. Er ist ein Spezialfall des Prähilbertraums.

In einem metrischen Raum ist das analytische Konzept der Konvergenz anwendbar; ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt vollständig. Ein vollständiger normierter Raum heißt Banach-Raum, ein vollständiger Prähilbertraum heißt Hilbert-Raum.

Ein Tangentialraum enthält die lokale Vektorraumstruktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

Aus einem Vektorraum und einem Untervektorraum kann man durch Bildung von Äquivalenzklassen einen weiteren Vektorraum, den Quotientenraum oder Faktorraum, konstruieren.

Untervektorraum

Ein Untervektorraum (auch linearer Unterraum) ist eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst wieder ein Vektorraum ist. Dabei werden die Vektorraumoperationen auf den Untervektorraum vererbt.

Ist nun V ein K-Vektorraum, so bildet eine Teilmenge U\subseteq V einen Untervektorraum, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • 0 \in U
  • für alle x,y \in U gilt x + y \in U
    (U ist abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition)
  • für alle x \in U und a \in K gilt a \cdot x \in U
    (U ist abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation)

Jeder Vektorraum enthält zwei triviale Untervektorräume, nämlich zum einen sich selbst, zum anderen den kleinsten Untervektorraum {0}, der nur aus dem Nullvektor besteht.

Beispiel

Es sei V=\R^2 der Vektorraum der Paare reeller Zahlen. Ein Untervektorraum ist z.B. M = \R \times \left\{0\right\}, da die drei obigen Voraussetzungen erfüllt sind. Anschaulich ist V eine Ebene, und M ist die mit der x-Achse zusammenfallende Gerade.

Beweis: Ein Untervektorraum ist ein Vektorraum

Jeder Untervektorraum ist mit den induzierten Operationen Vektoraddition und Skalarmultiplikation auch selbst wieder ein Vektorraum: Wegen der Abgeschlossenheit sind Vektoraddition und Skalarmultiplikation wohldefinierte Verknüpfungen auf U. Wegen U \ne \empty gibt es mindestens einen Vektor u \in U, und mit u liegt auch das skalare Vielfache 0\cdot u = 0 in U, d.h. U enthält den Nullvektor von V. Mit u liegt auch das additive Inverse -u = (-1_K) \cdot u in U. Die restlichen Vektorraumaxiome folgen aus der Teilmengenrelation U \subseteq V.

Verallgemeinerungen

  • Wenn man an Stelle eines Körpers K einen Ring zugrunde legt, erhält man ein Modul. Moduln sind eine gemeinsame Verallgemeinerung der Begriffe abelsche Gruppe (für den Ring der ganzen Zahlen) und Vektorraum (für Körper).
  • Einige Autoren verzichten in der Definition von Körpern auf das Kommutativgesetz der Multiplikation und nennen Moduln über Schiefkörpern ebenfalls Vektorräume. Folgt man dieser Vorgehensweise, so müssen K-Linksvektorräume und K-Rechtsvektorräume unterschieden werden, wenn der Schiefkörper nicht kommutativ ist. Die oben gegebene Definition des Vektorraums ergibt dabei einen K-Linksvektorraum, da die Skalare im Produkt auf der linken Seite stehen. K-Rechtsvektorräume werden analog mit der spiegelbildlich erklärten Skalarmultiplikation definiert.
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