Vektorfeld
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In der mehrdimensionalen Analysis, der Vektorrechnung und der Differentialgeometrie ist ein Vektorfeld eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet. Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der Feldbeschreibung der Physik, um zum Beispiel die Geschwindigkeit und Richtung jedes Punktes einer bewegten Flüssigkeit anzugeben, oder die Stärke und Richtung einer Kraft, die an verschiedenen Punkten verschieden sein kann, wie der magnetischen oder der Schwerkraft.
Definition
Ein Vektorfeld 
des euklidischen Raumes 
ist eine Funktion von einer offenen Menge 
nach . Anschaulich beschrieben wird also an jedem Punkt der Menge U ein „Pfeil angebracht“.
Allgemeiner werden Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten definiert: Ein Vektorfeld ist ein glatter Schnitt im Tangentialbündel der Mannigfaltigkeit. Das heißt, das Vektorfeld sieht auf jeder Karte so aus wie ein Vektorfeld des .
Obwohl die betrachtete Mannigfaltigkeit meist der zweidimensionale oder dreidimensionale euklidische Raum ist (wo der Tangentialraum überall mit diesem euklidischen Raum übereinstimmt), sind auch andere Mannigfaltigkeiten nützlich: Um die großräumigen Luftbewegungen auf der Erde zu beschreiben, benutzt man Vektorfelder auf einer Kugel (einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit), die Raumzeit ist eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit, und Phasenräume komplexer physikalischer Systeme werden oft durch hochdimensionale Mannigfaltigkeiten beschrieben, deren Vektorfelder angeben, wie sich das System mit der Zeit verändert.
Im Gegensatz zu Vektorfeldern wird durch ein Skalarfeld jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein Skalar zugeordnet.
Wichtige Operationen im Zusammenhang mit Vektorfeldern sind
- der Gradient eines Skalarfeldes, der ein Vektorfeld ist,
- die Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes, die in gewissem Sinne Ableitungen sind.
Anwendungen
Vektor- und Kraftfelder haben außer in Physik und Chemie auch große Bedeutung in zahlreichen Fachgebieten der Technik: Elektrotechnik, Geodäsie, Mechanik, Atomphysik, Angewandte Geophysik.
