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Trägheitssatz von Sylvester
Aus Kefk.
Der Trägheitssatz von Sylvester oder Sylvesterscher Trägheitssatz (nach James Joseph Sylvester) aus der linearen Algebra besagt, dass die Anzahl der negativen, positiven und Null-Eigenwerte von symmetrischen bzw. hermiteschen Matrizen nicht von der Basis des Vektorraums abhängen.
Genauer: Sei A eine hermitesche Sesquilinearform (symmetrische Bilinearform), dann ist ihre Signatur, also das Tripel (a,b,c) der Anzahlen der Eigenwerte, die positiv (a), negativ (b) und gleich Null (c) sind, invariant unter Kongruenztransformationen.
Aus dem Satz folgt zum einen, dass eine solche Matrix A und TTAT mit T invertierbar dieselbe Anzahl positiver und negativer Eigenwerte haben, sowie dass zu jeder symmetrischen Matrix eine solche invertierbare Matrix T existiert, sodass TTAT diagonal die Gestalt
- Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\text): T^TAT=\operatorname{diag}(\underbrace{1,\ldots,1}_{a\text{-mal}},\underbrace{-1,\ldots,-1}_{b\text{-mal}},\underbrace{0,\ldots,0}_{c\text{-mal}})
besitzt.
Anders ausgedrückt:
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seien zwei Normalformen der symmetrischen Bilinearform xTAy. Dann sind die Anzahl der positiven Koeffizienten λi bzw. λi' und die Anzahlen der negativen Koeffizienten jeweils gleich.
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