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topologischer Vektorraum

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Topologie Abstrakte Algebra Lineare Algebra Analytische Geometrie Funktionalanalysis

ist Spezialfall von

Abelsche Gruppe Vektorraum topologischer Raum topologische Gruppe

umfasst als Spezialfälle

normierter Raum Innenproduktraum Euklidischer Raum reelle Zahlen Unitärer Raum komplexe Zahlen vollständiger Raum Banachraum Hilbertraum

Ein topologischer Vektorraum ist ein Vektorraum, auf dem neben seiner algebraischen auch noch eine damit verträgliche topologische Struktur definiert ist.

Sei K=R oder K=C. Ein K-Vektorraum E, der zugleich topologischer Raum ist, heißt topologischer Vektorraum, wenn folgende Verträglichkeitsaxiome gelten:

• Die Addition E×E→E ist stetig,
• Die Skalarmultiplikation K×E→E ist stetig.

Bemerkungen:

• Manchmal wird auch zusätzlich gefordert, dass E ein Hausdorff-Raum ist.
• (E,+) ist eine topologische Gruppe.
• Es ist wichtig, dass die beiden genannten Abbildungen nicht nur komponentenweise stetig sind.

Beispiele

Die wichtigsten Beispiele sind die normierten Vektorräume, darunter die Banachräume.

Allgemeinere Beispiele sind die lokalkonvexen Räume, darunter die Fréchet-Räume