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Distribution (Mathematik)

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Dieser Artikel erläutert die Distribution als verallgemeinerte Funktion, Pfaffsche Systeme werden in der Differentialgeometrie (als eine Verallgemeinerung der exakten Differentialgleichung) auch als geometrische Distribution bezeichnet.

Der Begriff der Distribution ist eine Verallgemeinerung des Begriffs der Funktion. Er wurde Mitte des 20. Jahrhunderts von Laurent Schwartz geprägt, der für seine Untersuchung von Distributionen die Fields-Medaille erhielt.

Inhaltsverzeichnis

1 Motivation
2 Definitionen
3 Eigenschaften
4 Ableitungen von Distributionen
- 4.1 Beispiel: Heaviside-Funktion und Delta-Distribution

Motivation

Entwickelt wurden Distributionen, um gewisse singuläre Objekte der Physik mathematisch behandeln zu können. So ist beispielsweise die Delta-Distribution geeignet, um singuläre Phänomene wie etwa eine Punktmasse oder elektromagnetische Punktladung mathematisch zu beschreiben: Die räumliche Dichtefunktion eines Massenpunktes mit Einheitsmasse hat die Eigenschaft, dass sie fast überall verschwindet, außer an einem Punkt, an dem sie unendlich wird, da das Raumintegral über die Dichtefunktion 1 ergeben muss (Einheitsmasse). Es gibt keine reguläre Funktion, die diese Eigenschaften der Dichte erfüllt, wenn man aber das Integral als Funktional auffasst, kann man die Dichte als Delta-Distribution beschreiben.

Distributionen sind heutzutage ein unentbehrliches Mittel in vielen Gebieten der Mathematik, Physik und Elektrotechnik, zum Beispiel in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen sowie der Fourieranalyse, die wiederum eine prominente Rolle in der Quantenelektrodynamik und der Signalverarbeitung spielen.

Definitionen

Definition von Distributionen

Eine Distribution ist eine lineare und stetige Abbildung eines Testfunktionenraums auf die reellen Zahlen (siehe Funktional). Das bedeutet, dass eine Distribution eine Abbildung ist, die jeder Testfunktion eine Zahl zuordnet. Diese Zuordnung muss linear und stetig sein.

Testfunktionen

Es gibt zumindest zwei Mengen von Testfunktionen, die häufig auftreten.

In der ersten Variante nimmt man als Raum von Testfunktionen alle beliebig oft stetig differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger in einem Gebiet $Ω$ :

$C_0^{\infty}(\Omega) = \{ \phi \in C^{\infty}(\Omega) \,|\, \operatorname{supp}\,\phi \mathrm{~ist~kompakte~Teilmenge~von~} \Omega \}$

Mit einem geeigneten Konvergenzbegriff versehen, ergibt $C_0^\infty(\Omega)$ einen lokal-konvexen Raum, den man mit ${\mathcal D}(\Omega)$ bezeichnet.

Die Menge der Distributionen auf diesem Raum ${\mathcal D}(\Omega)$ wird mit ${\mathcal D}'(\Omega)$ bezeichnet.

Eine zweite Möglichkeit, Testfunktionen zu definieren sind die sogenannten schnell fallenden Funktionen. Im Unterschied zu den vorhergehenden werden diese meist dann verwendet, wenn Distributionen auf unbeschränkten Gebieten benötigt werden. Schnell fallende Funktionen sind unendlich oft differenzierbar und streben im Unendlichen so schnell gegen 0, dass sie und alle ihren Ableitungen multipliziert mit einer beliebigen Potenz immer noch gegen 0 gehen. Diese Menge dieser Testfunktionen wird als Schwartz-Raum ${\mathcal S}(\Omega)$ bezeichnet:

${\mathcal S}(\Omega) = \{ \phi \in C^\infty(\R^n) \,|\, \forall k, \alpha\in\mathbb N \;\exists C:\; \sup_{x\in\Omega} |x^k D^\alpha \phi(x) | \leq C \}$

Dieser Raum ist unter der Fourier-Transformation invariant und in allen Sobolew-Räumen enthalten. Die auf diesen Testfunktionen definierten Distributionen nennt man temperierte oder auch langsam wachsende Distributionen und schreibt ${\mathcal S}'(\Omega)$ .

Schreibweise für Distributionen

Nach der Definition ordnet eine Distribution jeder Testfunktion eine Zahl zu:

$T: \phi \to T(\phi) =(T,\phi)$

In der letzten Gleichung ist $(T,φ)$ einfach eine Schreibweise für den Wert, den die Distribution $φ$ zuordnet. Man sagt: Die Distribution T wird auf φ angewendet.

Reguläre Distributionen

Reguläre Distributionen (s.u.) lassen sich als Integraloperatoren $T f$ schreiben

$T_f(\phi) = \int_\R f(t) \phi(t) dt$ .

Hierbei ist $f\in L_1^{loc}(\R)$ eine lokal integrierbare Funktion. Nicht alle Distributionen lassen sich auf diese Weise schreiben, weil es nicht immer eine solche Funktion $f (t)$ gibt. Würde man zum Beispiel die Delta-Distribution als reguläre Distribution annehmen, erhält man den Widerspruch $δ = 0$ (als Distribution).

In der Praxis kann man diese Schreibweise für allgemeine Distributionen verwenden, wenn man aus dem Integralzeichen entsprechend eine Klammer macht.

Eigenschaften

Interpretation einer gewöhnlichen Funktion als Distribution

Distributionen sind Verallgemeinerungen von reellen Funktionen im folgenden Sinn: Sei h eine gewöhnliche, auf der gesamten reellen Achse definierte, stückweise stetige Funktion und $φ$ eine Testfunktion, so dass

$\int_{-\infty}^{\infty} h(t) \phi (t) dt$

existiert. Dann ist durch

$[h] : \phi \mapsto \int_{-\infty}^{\infty} h(t) \phi (t) dt =: [h](\phi)$

eine Distribution [h] definiert. Eine solche Funktion h ist eindeutig (bis auf eine Nullmenge) durch die von ihr erzeugte Distribution [h] festgelegt. Distributionen, die in dieser Weise aus Funktionen entstanden sind, werden regulär genannt.

Diese Erkenntnis ist der Kern der Bedeutung von Distributionen. In manchen Rechnungen mit „gewöhnlichen Funktionen“ treten Singularitäten auf. Interpretiert man eine solche Funktion als Distribution, kann man trotz Singularitäten ohne Probleme weiterrechnen.

Die Delta-Distribution

Die Delta-Distribution ist eine irreguläre Distribution, sie kann nicht durch eine gewöhnliche Funktion dargestellt werden. Es gilt:

$\delta (\phi) := \phi (0)\;$

Sprich: Die Delta-Distribution angewendet auf eine Testfunktion φ ergibt die Testfunktion an der Stelle 0.

Dies ist ein Spezialfall der folgenden allgemeineren Definition (mit $a \in \Omega$ ):

$\delta_a (\phi) := \phi (a)\;$

Stauchung und Verschiebung

Sei $D (t)$ eine beliebige Distribution, so ist

$D \left( \frac {t-t_0} {\tau} \right) (\phi(t)) := |\tau| \, D(t)(\phi (t\tau+t_0))$

Für die Delta-Distribution (siehe oben) gilt somit:

$\delta \left( \frac {t-t_0} {\tau} \right) (\phi(t)) = |\tau| \, \phi (t_0)$

Ableitungen von Distributionen

Betrachtet man eine stetig differenzierbare Funktion $f$ und die ihr zugeordnete reguläre Distribution $T f$ , so erhält man die Rechenregel

$(T_{f^\prime},\phi) = \int_{\Omega} f^\prime(t) \phi(t) \,\mathrm{d}t = - \int_{\Omega} f(t) \phi^\prime(t) \,\mathrm{d}t = -(T_f,\phi^\prime)$ .

Hierbei wurde partielle Integration verwendet, wobei die Randterme wegen der gewählten Eigenschaften der Testfunktion $φ$ wegfallen. Die äußeren beiden Terme sind auch für singuläre Distributionen definiert, und man verwendet dies zur Definition der Ableitung einer beliebigen Distribution $T$ . Die Ableitung $T^\prime$ von $T$ ist das Funktional, für das

$(T^\prime,\phi) = -(T,\phi^\prime)$

für jede Testfunktion $φ$ gilt. Entsprechend gilt für mehrdimensionale $Ω$ und höhere Ableitungen

$\left(D^\alpha T,\phi\right) := (-1)^{|\alpha|} (T, D^\alpha \phi)$ ,

wobei $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ ein Multiindex und $D^\alpha = \frac{\mathrm{d}^{\alpha_1}}{\mathrm{d}x_1^{\alpha_1}} \dots \frac{\mathrm{d}^{\alpha_n}}{\mathrm{d}x_n^{\alpha_n}}$ ist. Es wird dabei immer vorausgesetzt, daß die jeweiligen Ableitungen für die Testfunktionen definiert sind.