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Taylorreihe

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In der Analysis verwendet man Taylorreihen (auch Taylor-Entwicklung), um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen. So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch eine nach wenigen Gliedern abgebrochene Taylorreihe (oftmals gut) angenähert werden (nützlich z.B. in der Physik). Die Taylorreihe (oder Taylor-Reihe) einer Funktion f in einem Punkt ist die Potenzreihenentwicklung der Funktion an diesem Punkt. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor. Eng verwandt mit der Taylorreihe sind die Taylor-Polynome, die im Artikel Taylor-Formel beschrieben sind.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei I ein reelles Intervall und f: I \rightarrow \mathbb{R} eine beliebig oft differenzierbare Funktion, dann heißt die im Folgenden dargestellte unendliche Reihe

P_f(x)=f(a)+ \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + \cdots
= \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n

die Taylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt a, wobei a \in I .

Im Spezialfall a = 0 wird die Taylor-Reihe manchmal auch Maclaurin-Reihe genannt.

Hierbei bezeichnet f(n)(a) die n-te Ableitung von f an der Stelle a (mit f(0): = f) und n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n die Fakultät von n.


Den Ausdruck T1(x): = f(a) + f'(a)(x − a) (also die Summe der ersten beiden Terme der Taylorreihe) nennt man auch "Linearisierung von f an der Stelle a". Allgemeiner nennt man die Partialsumme

T_n(x) := f(a)+ \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n,

die für festes a ein Polynom in der Variablen x darstellt, das n-te Taylorpolynom, und die Taylor-Formel macht eine Aussage über ihre Abweichung (das Restglied) von der Funktion f. Aufgrund der Einfachheit der Polynomdarstellung sowie der guten Anwendbarkeit der Restgliedformel sind Taylorpolynome unverzichtbares Hilfsmittel der Analysis und der Ingenieurwissenschaften geworden.

Eigenschaften

Die Taylorreihe ist eine Potenzreihe in x. Allgemein muss sie weder einen positiven Konvergenzradius haben, noch muss sie in ihrem Konvergenzbereich mit f übereinstimmen: Die Gleichung

f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n

gilt nicht unbedingt für alle x aus I, sondern nur dort, wo die Potenzreihe konvergiert und denselben Wert wie f(x) hat. Den Namen "Taylorreihe" trägt sie aber unabhängig von ihrer Konvergenz.

Die Taylorreihe konvergiert genau für diejenigen x aus I gegen f(x), für die das Restglied Rk(x) = f(x) − Tk(x) gegen 0 konvergiert.

Ist f selbst eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a, dann stimmt die Taylorreihe mit dieser Potenzreihe überein.

Die Taylorpolynome sind Partialsummen der Taylorreihe, und wenn die Taylorreihe gegen f konvergiert, dann sind höhere Taylorpolynome automatisch bessere Näherungen, da ihre Restglieder kleiner sind. Für analytische Funktionen gibt es um jeden Wert von x stets eine Umgebung, in der diese Bedingung erfüllt ist.

Beispiele

Eine Funktion, die sehr schlecht durch die Taylorreihe approximiert wird

Die Taylorreihe einer Funktion konvergiert nicht immer gegen die Funktion. Im folgenden Beispiel stimmt die Taylorreihe auf keiner Umgebung um den Entwicklungspunkt x = 0 mit der Ausgangsfunktion überein:

f(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{falls } x\le 0\\ \mathrm{e}^{-1/x} & \mbox{falls } x>0 \end{cases}

Als reelle Funktion ist f unendlich oft stetig differenzierbar, wobei die Ableitungen in jedem Punkt x \leq 0 (insbesondere für x = 0) ausnahmslos 0 sind. Die Taylorreihe um den Nullpunkt ist also die Nullfunktion, und stimmt in keiner Umgebung der 0 mit f überein. Daher ist f nicht analytisch. Die Taylorreihe um einen Punkt a > 0 konvergiert zwischen 0 und 2a gegen f. Auch mit einer Laurentreihe lässt sich diese Funktion nicht approximieren, weil die Laurentreihe, die die Funktion für x > 0 korrekt wiedergibt, für x < 0 nicht konstant 0 ergibt.

Taylorreihen mit Konvergenzradius größer Null

Viele bekannte Funktionen lassen sich durch Potenzreihen darstellen, die dann gleichzeitig Taylorreihen der Funktion sind. Zum Beispiel gilt für alle reellen Zahlen x:

Exponentialfunktionen und Logarithmen

Bild:Taylor Approximation of ln(x+1).jpeg
Approximation von ln(x+1) durch Taylorpolynome Pn vom Grad 3, 10 und 25. Es ist gut erkennbar, dass die Polynome nur im Intervall (-1, 1) konvergieren, der Konvergenzradius also 1 beträgt
e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} für alle reellen (oder komplexen) x
\log(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} für -1 < x \le +1

Diese Formel ist jedoch für praktische Rechnungen ungeeignet. Schneller konvergiert diese Reihe:

\log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{2k+1} für − 1 < x < + 1
Wählt man x := \frac{y-1}{y+1} für ein y > 0, dann erhält man damit log(y).

Trigonometrische Funktionen

Bild:Taylor Approximation of sin(x).jpeg
Approximation von sin(x) durch Taylorpolynome Pn vom Grad 1, 3, 5 und 7
Bild:Taylor cos.gif
Die Cosinusfunktion um den Entwicklungspunkt 0 entwickelt.

Für den Entwicklungspunkt a = 0 gilt (Maclaurin-Reihe):

\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ alle\ } x
\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ alle\ } x
\tan(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!}x^{2n-1} \quad\mathrm{ f\ddot ur }\ \left| x \right| < \frac{\pi}{2}, dabei ist B2n die 2n-te Bernoulli-Zahl.
\sec(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n} \quad \mathrm{ f\ddot{u}r\ } \left| x \right| < \frac{\pi}{2} , dabei ist E2n die 2n-te Eulersche Zahl.
\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ } \left| x \right| < 1
\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ } \left| x \right| \leq 1

Einige häufig verwendete Näherungen

In den Natur- und Ingenieurwissenschaften werden manchmal folgende Reihenentwicklungen verwendet (ohne Beweis):

\sqrt{1+x} \approx 1+\frac{x}{2} \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ } x << 1
\frac{1}{1-x} \approx 1+x \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ } x << 1
\frac{1}{1+x} \approx 1-x \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ } x << 1
\ln(1+x) \approx x \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ } x << 1

Siehe auch: Erste Näherung

Verallgemeinerte Taylorreihe

Sei U \subset \mathbb{R}^n ein Gebiet und f:U\mapsto\mathbb{R} eine Funktion, die unendlich oft stetig differenzierbar ist. Dann heißt die Reihe

\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \mathrm{d}^{(k)} f(a) (x-a)^k

die Taylorreihe von f im Punkt a.

Anmerkungen

Bei d(k)f(a) handelt es sich um das Differential k-ter Ordnung einer mindestens k-fach stetig differenzierbaren Funktion f im Punkt a; es ist also eine symmetrische, k-fach lineare Abbildung d^{(k)} f(a): \mathbb{R}^n \times \cdots \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, die durch

\mathrm{d}^{(k)} f(a) (v_1, \ldots, v_k) := \frac{\partial^k f}{\partial v_1 \cdots \partial v_k} (a) für alle v_i \in \mathbb{R}^n

definiert ist. Da f k-fach stetig differenzierbar ist, folgt die Symmetrie des Differentials k-ter Ordnung direkt aus dem Satz von Schwarz.

Da es sich bei dem Differential um eine Funktion mit k Argumenten handelt, ist folgende Abkürzung angenehm:

\mathrm{d}^{(k)} f(a) x^k := \mathrm{d}^{(k)} f(a) ( \begin{matrix}\underbrace{x, \ldots, x}\\ {}^{\rm k-mal} \\[-4.5ex] \end{matrix} )

Außerdem gilt die folgende Beziehung:

\frac{\partial f}{\partial v_i} (a)= \mathrm{d}f(a) v_i = \sum_{k=1}^n \partial_k f (a) \cdot v_i^{(k)} für alle v_i = (v_i^{(1)}, \ldots, v_i^{(n)})^t \in \mathbb{R}^n

Daraus ergibt sich für das Differential

\mathrm{d}^{(k)}f(a) x^k = \sum_{i_1=1}^n \cdots \sum_{i_k = 1}^n \partial_{i_1}\cdots \partial_{i_k} f(a) x_{i_1} \cdots x_{i_k}.

Weblinks

Wikipedia
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