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Tangentialebene

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Die Tangentialebene einer gekrümmten Fläche ist diejenige Ebene, die im betrachteten Punkt die Fläche berührt. Sie steht senkrecht auf dem Normalenvektor der Fläche.

Inhaltsverzeichnis

Charakterisierungen

Es sei M\subset\R^3 eine Fläche und p\in M ein Punkt.

  • Die Tangentialebene TpM ist Ebene durch p, die von den Geschwindigkeitsvektoren von durch p verlaufenden Wegen aufgespannt wird: Ist \gamma\colon(-1,1)\to M ein Weg mit γ(0) = p, so ist p + \dot\gamma(0) ein Punkt der Tangentialebene.
  • Ist M in Parameterform gegeben, ist also U\subseteq\R^2 eine offene Teilmenge und f\colon U\to\R^3 eine Abbildung mit f(p0) = p, so dass M in der Nähe von p durch das Bild von f beschrieben wird, und hat die Totalableitung von f in p0 den maximalen Rang 2, so wird die Ebene vom Bild der Totalableitung aufgespannt:
T_pM=p + \operatorname{im} Df(p_0).
  • Ist M durch eine Gleichung gegeben, ist also M lokal bei p die Lösungsmenge von g(x) = 0 für eine differenzierbare Funktion g\colon\R^3\to\R, und ist der Gradient \operatorname{grad} g(p)\ne0, so ist \operatorname{grad} g(p) der Normalenvektor der Fläche, die Ebene wird also durch
\langle x - p, \operatorname{grad}g(p)\rangle=0
beschrieben.

Beispiel

Ist p = (x0,y0,z0) ein Punkt auf dem Ellipsoid

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,

so ist die Tangentialebene in p gegeben durch

\frac{2x_0(x-x_0)}{a^2}+\frac{2y_0(y-y_0)}{b^2}+\frac{2z_0(z-z_0)}{c^2}=0.

Eigenschaften

Ist die Gauß-Krümmung der Fläche

  • positiv, so liegt die Fläche lokal auf einer Seite der Tangentialebene;
  • negativ, so wird die Fläche von der Tangentialebene geschnitten.

Anwendungen

Die Tangentialebene ist eine lokale Approximation an die Fläche, die eine einfachere Struktur besitzt. Dies wird beispielsweise genutzt für:

Von „http://kefk.org/wiki/Tangentialebene“
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