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Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus

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Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus sind Hyperbelfunktionen. Man nennt sie auch Hyperbeltangens oder hyperbolischen Tangens, b.z.w. Hyperbelkotangens oder hyperbolischen Kotangens.

Inhaltsverzeichnis

Schreibweise

Tangens Hyperbolicus: y = \operatorname{tanh}(x)
Kotangens Hyperbolicus:y = \operatorname{coth}(x)


Definition

\operatorname{tanh} x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=1-\frac{2}{e^{2x}+1}=\frac{\sinh x}{\cosh x}


\operatorname{coth} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}} = \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1} = \frac{\cosh(x)} {\sinh(x)}

Eigenschaften

Bild:Tanh.png
Graph der Funktion tanh(x)
Bild:Coth.png
Graph der Funktion coth(x)
  Tangens Hyperbolicus Kotangens Hyperbolicus
Definitionsbereich - \infty < x < + \infty - \infty < x < + \infty ; x \ne 0
Wertebereich -1<f\left(x\right)<1 -\infty<f\left(x\right)<-1  ; 1<f\left(x\right)<+\infty
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend x < 0 streng monoton fallend
x > 0 streng monoton fallend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Asymptoten x\to \ + \infty\colon f\left(x\right)\to \ +1
x\to \ -\infty\colon f\left(x\right)\to \ -1 		x\to \ + \infty\colon f\left(x\right)\to \ +1
x\to \ - \infty\colon f\left(x\right)\to \ -1
Nullstellen x = 0 keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine x = 0
Extrema keine keine
Wendepunkte x = 0 keine

Umkehrfunktion

Der Tangens Hyperbolicus ist eine Bijektion \tanh:\mathbb{R}\rightarrow (-1,1). Die Umkehrfunktion nennt man Areatangens Hyperbolicus und ist für Zahlen x aus dem Intervall ( − 1,1) definiert und nimmt als Wert alle reellen Zahlen an. Sie lässt sich durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken:

{\rm Artanh}\,x=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right).

Für die Umkehrung des Kotangens Hyperbolicus gilt:

\operatorname{arcoth}(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)

Ableitungen

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tanh x = \frac {1} {\cosh^2x} = 1 - \tanh^2x


\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \coth(x) = 1- \coth^2(x) = - \frac{1}{\sinh^2{x}} (=cosh^2x)

Additionstheorem

Es gilt das Additionstheorem.

\tanh(\alpha+\beta)=\frac{\tanh \alpha+ \tanh \beta}{1+\tanh\alpha\tanh\beta}

Integrale

\int \tanh(x)\,\mathrm{d}x = \ln ( \cosh x ) + C


\int \coth(x)\,\mathrm{d}x = \ln ( \sinh x ) + C

Reihenentwicklung

\operatorname{tanh}(x) = \sgn(x) \left[1+ \sum_{k=1}^\infty (-1)^k2e^{-2k|x|}\right]


\operatorname{coth}(x) = \frac{1}{x}+ \sum_{k=1}^\infty \frac{2x} {k^2\pi^2+x^2}

Der Anfang der Taylorreihe des Tangens Hyperbolicus lautet:

\tanh (x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \cdot \frac{2^{2n}(2^{2n} -1)}{(2n)!} \cdot B_n \cdot x^{2n - 1} = x- \frac13 x^3 + \frac {2}{15} x^5+\cdots

Die Bn sind die Bernoulli-Zahlen. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist π / 2.

Komplexes Argument

\operatorname{tanh}(x+iy) = \frac{\sinh(x)\cos(y) + i\cdot\cosh(x)\sin(y)}{\cosh(x)\cos(y) + i\cdot\sinh(x)\sin(y)}


\operatorname{tanh} (iy) = i \cdot \tan(y)


\operatorname{coth}(x+iy) = \frac{\cosh(x)\cos+ i\cdot\sinh(x)\sin(y)}{\sinh(x)\cos(y) + i\cdot\cosh(x)\sin(y)}


\operatorname{coth} (iy) = - i \cdot \cot(y)

Siehe auch

Bild:F of x.svg
Hyperbolische und Area-Funktionen

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus
Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus
Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus
Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus
Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus
Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus

 
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 Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Tangens_Hyperbolicus_und_Kotangens_Hyperbolicus, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.
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