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Tangens und Kotangens

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(Weitergeleitet von Tangens)

Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle.

Schreibweise:

Tangens:	$f(x) = \tan x \,$
Kotangens:	$f(x) = \cot x \,$

Bild:Tangens Kotangens.PNG

Definition

Bild:Trigonometrie.svg

Definition am Einheitskreis

Die Bezeichnung „Tangens“ stammt von dem in Flensburg geborenen Thomas Fink (1561-1656), der sie 1583 einführte. „Kotangens“ entwickelte sich aus complementi tangens, also Tangens des Komplementärwinkels. ^[1]

Die Wahl des Namen Tangens erklärt sich unmittelbar durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge eines Tangentenabschnitts:

$\overline{DT} = \tan b \qquad\qquad \overline{EK} = \cot b$

Bild:RechtwinkligesDreieck.png

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels $α$ das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:

$\tan \alpha=\frac{l_{\rm GK}}{l_{\rm AK}}=\frac{a}{b} \qquad\qquad \cot \alpha=\frac{l_{\rm AK}}{l_{\rm GK}} = \frac{b}{a}$

Daraus folgt unmittelbar:

$\tan\alpha=\frac{1}{\cot\alpha}$

sowie

$\tan\alpha = \cot\beta = \cot(90^\circ-\alpha).$

Eigenschaften

Definitionsbereich

Tangens:	$-\infty < x < +\infty\,;\,x\ne\left(\frac{1}{2}+ n\right)\cdot\pi;n \in \mathbb{Z}$
Kotangens:	$-\infty < x < +\infty\, ; \, x \ne n \cdot \pi\, ;\, n \in \mathbb{Z}$

Wertebereich

$-\infty < f(x) \,< +\infty$

Periodizität

Periodenlänge

π

: $f(x+\pi) = f(x) \,$

Monotonie

Tangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton steigend.

Kotangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton fallend.

Symmetrien

Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:

$\tan(-x) = -\tan x \qquad\qquad \cot(-x) = -\cot x$

Nullstellen

Tangens:	$x = n \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}$
Kotangens:	$x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\, ;\, n \in \mathbb{Z}$

Polstellen

Tangens:	$x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}$
Kotangens:	$x = n \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}$

Wendepunkte

Tangens:	$x = n \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}$
Kotangens:	$x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}$

Weder die Tangensfunktion noch die Kotangensfunktion haben Asymptoten, Sprungstellen oder Extrema

Wichtige Funktionswerte

Tangens	Kotangens	Ausdruck	Wert
$\tan0^\circ$	$\cot90^\circ$	$0\,$	0
$\tan30^\circ$	$\cot60^\circ$	$\frac1{\sqrt3}$	≈ 0,577
$\tan45^\circ$	$\cot45^\circ$	$1\,$	1
$\tan60^\circ$	$\cot30^\circ$	$\sqrt3$	≈ 1,732
$\tan90^\circ$	$\cot0^\circ$	$\infty\,$	$\infty\,$

Umkehrfunktion

Durch passende Einschränkung der Definitionsbereiche erhält man eine Bijektion

Tangens: $\tan:\,(-\pi/2,\,\pi/2)\to\R$ .

Ihre Umkehrfunktion

$\operatorname{arctan}:\R\to\,(-\pi/2,\,\pi/2)$

heißt Arkustangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Kotangens: $\cot:\,(0,\,\pi)\to\R$ .

Ihre Umkehrfunktion

$\operatorname{arccot}:\R\to\,(0,\,\pi)$

heißt Arkuskotangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Reihenentwicklung

Tangens:

Die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt $x = 0$ (MacLaurinsche Reihe) lautet

$\tan x=x+\frac13 x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\cdots \;=\; \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} \cdot \left(2^{2n} -1\right)}{(2n)!} \cdot B_n \cdot x^{2n - 1}$

Dabei sind mit $B n$ die Bernoulli-Zahlen bezeichnet.

Kotangens:

Der Anfang der Laurent-Reihe lautet:

$\cot x = \frac{1}{x} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \frac{1}{4725}x^7 - \dots$ für

0 < | x | < π

Die so genannte Partialbruchzerlegung des Kotangens lautet

$\pi\cot\pi x=\frac1x+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{x+k}+\frac1{x-k}\right)=\frac1x+\sum_{k=1}^\infty\frac{2x}{x^2-k^2}$ für $x\in\mathbb C\setminus\mathbb Z$ .

Ableitung

Bei der Ableitung von Tangens und Kotangens tauchen die ansonsten eher wenig gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen Sekans und Kosekans auf:

Tangens: $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\tan x = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$
Kotangens: $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\cot x = -1 - \cot^2 x = -\frac1{\sin^2x}=- \csc^2 x$

Integral

Tangens: $\int \tan (ax)\ \mathrm dx = - \frac{\ln|\cos (ax)|}{a}$
Kotangens: $\int \cot (ax)\ \mathrm dx = \frac{\ln|\sin (ax)|}{a}$

Beziehungen zu anderen Funktionen

Tangens: $\tan x = {\sin x \over\cos x}$
Kotangens: $\cot x = {\cos x \over\sin x}$

Additionstheoreme

Die Additionstheoreme für Tangens und Kotangens lauten

$\tan(x \pm y)=\frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x\tan y} \qquad \cot(x \pm y)=\frac{\cot x\cot y \mp 1}{\cot y \pm \cot x}$

Eine symmetrische Formulierung lautet: Genau dann gilt

$\tan x+\tan y+\tan z=\tan x \tan y \tan z \,$ bzw. $\cot x \cot y+\cot y \cot z+\cot z \cot x=1 \,$

wenn $x + y + z$ ein Vielfaches von $π$ ist.

Rationale Parametrisierung

Der Tangens des halben Winkels kann dazu verwendet werden, verschiedene trigonometrische Funktionen durch rationale Ausdrücke zu beschreiben: Ist $t=\tan\frac\alpha2$ , so ist

$\sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2},\quad\cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad\tan\alpha=\frac{2t}{1-t^2}.$

Insbesondere ist

$\R\to\R^2,\quad t\mapsto\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)$

eine Parametrisierung des Einheitskreises mit Ausnahme des Punktes $( - 1,0)$ (der dem Parameter $t=\infty$ entspricht). Einem Parameterwert $t$ entspricht dabei der zweite Schnittpunkt der Verbindungsgeraden von $( - 1,0)$ und $(1,2 t)$ mit dem Einheitskreis.

Anwendung: Tangens und Steigungswinkel

Der Tangens liefert eine wichtige Kennzahl für lineare Funktionen: Jede lineare Funktion $f:\R\to\R,\;x\mapsto mx + c$ besitzt als Graphen eine Gerade. Der Tangens des Winkels zwischen der Geraden und der x-Achse entspricht genau der Steigung $m$ der Geraden, d. h. $m = \tan\,\alpha$

Bei negativer Steigung ( $m < 0$ ) gilt: $m = - tanα$

Die als Steigung einer Straße angegebene Prozentzahl ist der Tangens des Steigungswinkels.

Differentialgleichung

Der Tangens ist eine Lösung der Riccatischen Differentialgleichung

w' = 1 + w 2

Faktorisiert man die rechte Seite, so erhält man

$w' = 1+w^2= (w+\mathrm i)(w-\mathrm i)\,$

mit der imaginären Einheit $i$ . Der Tangens (als komplexe Funktion) hat die Picardschen Ausnahmewerte $i$ , $- i$ : Diese Werte werden niemals angenommen, da die konstanten Funktionen $i$ und $- i$ Lösungen der Differentialgleichung sind und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz ausschließt, dass zwei Lösungen durch denselben Punkt gehen.

Quellen

↑ Josef Laub (Hrsg.) Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band.. Hölder-Pichler-Tempsky, 2. Auflage, Wien 1977. ISBN 3-209-00159-6, S. 223.

Siehe auch

Weblinks

Wiktionary: tan – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme und Übersetzungen

Bild:F of x.svg

Trigonometrische und Arkusfunktionen

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