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Systematischer Fehler

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Als systematischer Fehler (auch Systematische Abweichung oder Systematische Verzerrung; engl. Bias oder systematic error) wird in der Technik, den Natur- und anderen Wissenschaften die einseitige Abweichung einer Messung oder Experimentreihe von ihrem Erwartungswert bezeichnet (Erwartungstreue). Im Gegensatz zu den (bei Messungen nie ganz vermeidbaren) „zufälligen“ Fehlern, die oft einer Normalverteilung folgen, haben systematische Fehler „Schlagseite“, bewirken also einen zu hohen oder zu niedrigen Messwert.

Daher sind sie durch Mittelung wiederholter Messungen oder durch Ausgleichsrechnung allein nicht zu beseitigen, sondern erfordern andere Maßnahmen (Eichung mit genauerem Messgerät, andere Methodik oder Umgebung, mathematische Modellierung). Konstant-systematische Messfehler werden bias, offset, Ablage o.ä. genannt, ansteigend/abfallende hingegen Trend oder Drift. Letztere sind etwas leichter zu entdecken und gehen oft auf unerkannte Temperatureffekte zurück.

Inhaltsverzeichnis

Ursachen

Die Ursachen systematischer Fehler können vielfältig sein und werden meist folgendermaßen klassifiziert:

  1. instrumentelle Einflüsse (z. B. ungenaue Justierung bzw. Kalibrierung, lockere Teile am Messgerät, thermische Ausdehnung von Metallteilen, Parallaxefehler, Richtungs-Abweichung von Achsen ...)
  2. persönliche Fehler (z.B. Reaktionszeit bei Stoppung von Zeiten, einseitige kleine Zielfehler, schräges Ablesen auf Thermometerskala ...)
  3. Umwelteinflüsse (z. B. Refraktion, unsymmetrische Wirkungen von Temperatur oder Wind, Vibrationen im Untergrund ...)
  4. und „sonstige“ (unerklärliche, nicht-deterministische) Effekte.
  5. Verzerrung (Empirie)

Einfaches Beispiel: Messung mit einem Lineal

  1. Instrumentell (falsche Kalibrierung): Liegt ein Lineal oder ein Maßband zu lange in der Sonne, so erwärmt es sich und dehnt sich aus. Wenn nun die Messung durchgeführt wird, so misst man immer etwas zu kurz. Kennt man aber die Temperatur des Lineals und dessen Wärmeausdehnungskoeffizient, so kann man diesen Fehler rechnerisch beseitigen. Der systematische Fehler ist nun im Messmodell berücksichtigt und dadurch unschädlich gemacht.
  2. Falsche Handhabung: Legt man andrerseits das Lineal beim Messen schräg an das Werkstück, so wird nun die Ablesung systematisch verfälscht. Kennt man aber den Winkel, um den das Lineal falsch angelegt (oder schief darauf geblickt) wurde, so kann man dies durch eine Winkelrechnung berücksichtigen.
  3. Ungünstige Umstände: dazu könnte ein unebener oder rutschender Untergrund, ein störender Schattenwurf der Skala und ähnliches zählen. Hier wird man rechnerisch nicht viel korrigieren können, sondern sollte die Messung unter anderen "Umweltbedingungen" wiederholen.
  4. Leider sind einfache Maßnahmen zur Fehlerkorrektur (Reduktion) nicht immer möglich, oder die Tatsache systematischer Fehler (noch) unbekannt. Hier können Wiederholungsmessungen eine experimentelle Lösung bringen. Wiederholt messen heißt aber nicht nur öfter messen, sondern dass man auch bezüglich aller möglichen Störeinflüsse variiert. In unserem Beispiel heißt dies, dass man die gesuchte Länge nicht nur öfter misst, sondern auch bei verschiedenen Temperaturen, wodurch das Lineal im Mittel eher seine Soll-Länge hat. Den vermutlichen Fehler kann man nun als Standardabweichung abschätzen. Noch besser wäre, verschiedene Maßstäbe zu verwenden und gegen Fehlern der 2. und 3.Art die äußeren Umstände zu verändern (Tageszeit, Lichteinfall, Messrichtung usw.)

Innere und äußere Genauigkeit

Im Fehlermaß „äußere Genauigkeit“ werden systematische Fehler i. a. als inkludiert verstanden, während die „innere Genauigkeit“ meist der Standardabweichung (mittlerer Fehler) beim bloßen Wiederholen der Messung entspricht. Der Unterschied zwischen beiden kommt teilweise beim Wechsel des Messinstruments (siehe 1), des Beobachters (2) oder äußerer Umstände, z. B. Wetterlage (3) ans Licht.

So hat eine astronomische Breitenbestimmung mit Sternen und einem Passageninstrument oder einem digitalen Astrolab eine (innere) Genauigkeit von ± 0.1", kann aber von einer Nacht zur nächsten um 0,5" variieren. Der Grund solcher „Abendfehler“ liegt in Anomalien der atmosphärischen Schichten (Astronomische Refraktion, Kuppel- bzw. Saalrefraktion) oder in kleinen Temperatureffekten, z.B. bei der Fernrohrbiegung.

Gegenmaßnahmen

Da sich systematische Fehler kaum durch Wiederholung verringern lassen, muss man sie entweder

Unbekannte systematische Messfehler

Unbekannte systematische Messfehler sind zeitkonstante, nach Betrag und Vorzeichen unbekannte Störgrößen; sie sind prinzipiell nicht eliminierbar und nur durch Intervalle eingrenzbar.

Beispiel: Beispiel eines zeitkonstanten unbekannten systematischen Fehlers ist die nur mit endlicher Genauigkeit realisierbare mechanische Justierung eines optischen Bauelementes: Jeder Wiederholungsmessung ist derselbe unbekannte systematische Fehler überlagert.

Es soll gelten: -f_s \le f \le f_s mit

f den systematischen Fehler und
\pm f_s die Grenzen des ihn einschränkenden Intervalls

Messwerten sind im allgemeinen sowohl zufällige als auch unbekannte systematische Fehler überlagert.

Driftfrei: In der Regel ist man bestrebt, mit "driftfreien" Messinstrumenten zu arbeiten. Driftfrei heißt indessen nicht, dass die Messapparatur frei von systematischen Fehlern wäre. Vielmehr sollten die unbekannten systematischen Fehler keinem zeitlichen Trend unterliegen, d.h. sich zeitlich gesehen nicht ändern. Genauer, während des Aufzeichnens der Wiederholungsmessungen beobachtet der Experimentator allein zufällige Fehler. Der den Messwerten ebenfalls überlagerte unbekannte systematische Fehler liegt bereits vor Beginn der Wiederholungsmessungen fest, ändert sich danach nicht mehr und bleibt dem Experimentator verborgen. Dass er physikalisch gesehen dennoch vorhanden ist, kann allein die Funktionsanalyse der Apparatur zeigen. Dieser Umstand verdeutlicht, wie schwierig es ist, die wahren Werte von Messgrößen zu lokalisieren.

Ändern sich systematische Fehler auch während der Messung, so zeichnet der Experimentator eine Zeitreihe auf. Für die Behandlung von Zeitreihen, beispielsweise Börsenkurse, hat die Statistik eigene, gänzlich andere Verfahren entwickelt.

Zufällige und unbekannte systematische Fehler überlagern sich additiv, die Art der Verknüpfung legt das Fehlermodell fest.

Siehe auch

Fehler (Statistik), Fehlerrechnung, Messunsicherheit, Indexfehler, Drift, Verzerrung (Empirie), Designeffekt, Kosinusfehler

Von „http://www.kefk.org/wiki/Systematischer_Fehler“
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