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Surjektivität

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Surjektivität (surjektiv) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion.

Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird, also mindestens ein Urbild hat. Anders ausgedrückt: Bild- und Zielmenge stimmen überein.

In der Sprache der Relationen ist der entsprechende Begriff rechtstotal.

Eine surjektive Funktion wird auch als Surjektion bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Es seien X und Y Mengen, sowie f : X \to Y eine Abbildung von X nach Y.

f heißt surjektiv, wenn für alle y aus Y mindestens ein x aus X mit f(x) = y existiert.

Formal: \forall y \in Y \ \exists x \in X : f(x)=y

Darstellungsformen

Bild:Surjektivität Mengenkasten 01.pngBild:Surjektivität Mengenkasten 02.pngBild:Surjektivität Mengenkasten 03.pngBild:Surjektivität Mengenwolke.png

Beispiele und Gegenbeispiele

  • Die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f(x) = 2x + 1 ist surjektiv, denn für jede reelle Zahl y gibt es (mindestens) ein Urbild. Um dies zu zeigen, löst man die Gleichung y = 2x + 1 in einem ersten Schritt nach x auf und erhält x = (y − 1) / 2. Das Berechnen von x reicht aber im allgemeinen noch nicht als Beweis. Dieser kann hier jedoch durch eine einfache Probe erbracht werden, denn in der Tat ist
    f((y − 1) / 2) = 2((y − 1) / 2) + 1 = y.
  • Die Sinus-Funktion \sin: \mathbb{R} \to [-1, 1] ist surjektiv. Jede horizontale Gerade y = y0 mit -1 \leq y_0 \leq 1 hat unendlich viele Schnittpunkte mit dem Graphen der Funktion.
  • Die Sinus-Funktion \sin: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ist jedoch nicht surjektiv, da z.B. die Gerade y = 2 keinen Schnittpunkt mit dem Graphen hat, der Wert 2 also nicht als Funktionswert angenommen wird.
f_1:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\ , \ x \mapsto x^2 ist nicht surjektiv.
f_2:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\ , \ x \mapsto x^2 ist surjektiv.

Eigenschaften

  • Man beachte, dass die Surjektivität einer Funktion f : A \to B nicht nur vom Funktionsgraphen \{(x, f(x)) \mid x \in A\}, sondern auch von der Zielmenge B abhängt (im Gegensatz zur Injektivität, welche man am Funktionsgraphen ablesen kann).
  • Sind die Funktionen f : A → B und g : B → C surjektiv, dann gilt dies auch für die Komposition (Verkettung) g o f : A → C.
  • Aus der Surjektivität von g o f folgt, dass g surjektiv ist.
  • Eine Funktion f : A → B ist genau dann surjektiv, wenn f eine rechte Inverse hat, also eine Funktion g : B → A mit f o g = idB (wobei idB die identische Abbildung auf B bezeichnet). Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom der Mengenlehre.
  • Eine Funktion f : A → B ist genau dann surjektiv, wenn f rechts kürzbar ist, also für beliebige Funktionen g, h : B → C mit g o f = h o f schon g = h folgt.
  • Jede beliebige Funktion f : A → B ist darstellbar als Verkettung f = h o g, wobei g surjektiv und h injektiv ist. g : A → im f hat dabei die Bildmenge von f als Zielmenge und stimmt ansonsten mit f überein (hat den selben Funktionsgraphen).

Mächtigkeiten von Mengen

Für eine endliche Menge A ist die Mächtigkeit |A| einfach die Anzahl der Elemente von A. Ist nun f : A → B eine surjektive Funktion zwischen endlichen Mengen, dann kann B höchstens so viele Elemente wie A haben, es gilt also |B| ≤ |A|.

Für unendliche Mengen wird der Größenvergleich von Mächtigkeiten zwar mit Hilfe des Begriffs Injektion definiert, aber auch hier gilt: Ist f : A → B surjektiv, dann ist die Mächtigkeit von B kleiner oder gleich der Mächtigkeit von A, ebenfalls geschrieben als |B| ≤ |A|.

Siehe auch

<imagemap>-Fehler: Bild ist ungültig oder nicht vorhanden Wikibooks: Beweisarchiv: Mengenlehre – Lern- und Lehrmaterialien
Von „http://www.kefk.org/wiki/Surjektivit%C3%A4t“
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