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Supersymmetriealgebra

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Wurde wegen schwerfälliger, zu langatmiger Sprache in die QS eingetragen, war dort aber kein Erfolg. Bitte mal drüberschauen. -- Cecil 04:03, 23. Apr. 2007 (CEST)

Die Supersymmetriealgebra ist der mathematische Formalismus, der die Beziehungen zwischen Bosonen und Fermionen in supersymmetrischen Theorien beschreibt.

Unter einer Supersymmetrie versteht man die Invarianz (= Unveränderlichkeit) eines physikalischen Modells unter einer Transformation, deren infinitesimaler Parameter ein antikommutierendes Element einer Superalgebra ist. So, wie eine räumliche Drehung um 180 Grad um die x-Achse ein Teilchen mit Spin +½ in z-Richtung in ein Teilchen mit Spin −½ in z-Richtung verwandelt, verbindet eine Supersymmetrietransformation Teilchen, deren Gesamtspin sich um ½ unterscheidet und fasst damit Materieteilchen (Fermionen wie etwa das Elektron) und Kraftteilchen (Bosonen wie z.B. das Photon) als verschiedene Teile eines größeren Ganzen (eines Supersymmetrie-Multipletts) zusammen.

Einleitung

In der Quantenfeldtheorie werden die fundamentalen Teilchen(felder) nach Eugene Wigner als irreduzible unitäre Darstellungen der Raumzeit-Symmetrien (Poincare-Gruppe) modelliert. Das bedeutet, dass zum einen Raumzeit-Symmetrien als lineare Operatoren auf Feldern dieser Darstellungen wirken, zum anderen ein sinnvolles inneres Produkt definiert ist, das nach den Regeln der Quantenmechanik Amplituden auf Wahrscheinlichkeiten abbildet (Hilbertraum). Die Raumzeit-Symmetrien sind die Verschiebung (Translation) in der Ortskoordinate, die Verschiebung in der Zeitkoordinate, Drehungen (Rotationen) und der Übergang zu einem bewegten Bezugssystem (im relativistischen Fall als Lorentz-Boost beschrieben). .

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik des Punktteilchens in einer Dimension wird die Verschiebung um eine gewisse Distanz $\vec{a}$ in der Ortskoordinate durch den Operator $e^{ \frac{\mathsf{i}}{\hbar} \cdot \vec{a} \cdot \vec{P} }$ beschrieben, wobei $\vec{P} \dot{=} \frac{\hbar}{\mathsf{i}} \nabla$ der Impuls-Operator ist. Die Verschiebung in der Zeitrichtung um das Zeitintervall t wird beschrieben durch $e^{-{\frac{\mathsf{i}}{\hbar} \cdot t \cdot \hat{H}}}$ , wobei $\hat{H}$ der Hamilton-Operator ist. Drehungen werden durch einen entsprechenden Operator mit dem Produkt aus Drehimpuls und Drehwinkel im Exponenten, Lorentzboosts durch einen entsprechenden Operator für Drehung im Minkowskiraum dargestellt. Sind nun die Zustände bei Anwendung dieser Operatoren invariant, kann die Wirkung dieser Operatoren nur in der Multiplikation mit einem Phasenfaktor bestehen (Zustand ist „Eigenzustand“ des Operators), was auf einen Erhaltungssatz führt (Noether Theorem)- bei Zeit-Translationen der Energie, Raum-Translationen des Impulses usw..

Neben diesen Raumzeit-Symmetrien tauchen in der Quantenfeldtheorie auch „interne“ Symmetrien auf. Ein Beispiel für eine (näherungsweise) interne Symmetrie ist das Quarkmodell für das Hadronen-Spektrums mit der Annahme einer (nur näherungsweise erfüllten) inneren Isospin-Symmetrie der Teilchen, formell ähnlich dem Freiheitsgrad eines halbzahligen Spins. Die zugrundeliegende Annahme ist, dass das up- und down-Quark auf gleiche Weise an der starken Wechselwirkung teilnehmen und deswegen als ein quantenmechanisches Zweizustandssystem aufgefasst werden können. Bindungszustände aus up- und down-Quarks müssen sich dann in irreduzible Darstellungen der Isospin-Symmetriegruppe SU(2) klassifizieren lassen. Beispielsweise bilden die pi-Mesonen ein Isospin-Triplett. Dieses Modell lässt sich nun auf zwei Weisen erweitern: da es neben up- und down-Quark ein weiteres vergleichsweise leichtes Quark gibt – das strange-Quark – lässt sich das Zweizustandssystem zu einem Dreizustandssystem ausweiten, dessen Symmetriegruppe SU(3) ist. Das Triplett der pi-Mesonen wird auf diese Weise ausgeweitet zu einem Mesonen-Oktett, das auch die K-Mesonen und das eta-Meson enthält.

Zum anderen kann man den Spin der Quarks in die Betrachtung mit aufnehmen und ein Vierzustandssystem mit Zuständen up/spin-hoch, up/spin-runter, down/spin-hoch, down/spin-runter betrachten. Das Triplett der pi-Mesonen, das durch Quark-Antiquark-Paarungen mit verschwindendem Spin entsteht, wird so erweitert auf ein System von ${4 \cdot 4}=16$ Quantenzuständen, das die drei pi- und das eta-Meson (mit verschwindendem Spin) sowie das omega- und die drei rho-Mesonen umfasst. (Letztere haben Gesamtspin 1 und tauchen deswegen in drei Polarisationszuständen auf, was die ${3 + 1 + \left( 3 + 1 \right) \cdot 3} = 16$ Quantenzustände ergibt.)

Auch bei den inneren Symmetrien lassen sich wie oben Transformationsoperatoren zwischen den Teilchenzuständen eines Multipletts definieren, und es lassen sich auch solche Operatoren finden, die die Zustände invariant lassen. Ihnen entspricht dann eine erhaltene „Ladung“ der Teilchen.

Unter anderem hat der Erfolg dieser Modelle für die Mesonen-Klassifizierung die Frage aufgeworfen, ob es möglich ist, die relativistischen Raum-Zeit Symmetrien mit den internen Symmetrien in einer Gruppe zu beschreiben. Nach wiederholtem Scheitern aller Konstruktionsversuche wurde von Coleman und Mandula ein allgemeines Argument angegeben, weshalb das nicht möglich ist. (Kurz gesagt ist die Idee, dass die vergrößerten Symmetrien zusätzliche Erhaltungssätze liefern würden, die Streuung nur noch unter diskreten Winkeln ermöglichen würden. Da der differentielle Streuquerschnitt stetig ist, würde dies bedeuten, dass Wechselwirkungen in so einem Modell nicht möglich sind. Allenfalls konforme Symmetrie käme in Frage.)

Eine Eigenheit der Quantenfeldtheorie ist, dass sich die Felder in unserer Welt, die zu Kraftteilchen (Bosonen, ganzzahliger Spin) gehören (also etwa das zum Photon gehörende elektromagnetische Feld) elegant mit reellen bzw. komplexen Zahlen beschreiben lassen, während es für die Beschreibung von Materieteilchen (Fermionen, halbzahliger Spin) nützlich ist, eine Superzahlen-Algebra einzuführen. Diese besteht aus einer Erweiterung der komplexen Zahlen um algebraische Elemente, die ${a_j \cdot a_k} = {- a_k \cdot a_j}$ erfüllen. Diese technisch und konzeptionell sehr involvierte Konstruktion lässt sich stark vereinfacht so darstellen, dass auf diese Weise das Pauli-Prinzip modelliert wird: ein Feld $ε$ , das durch antikommutierende Superzahl-Elemente beschrieben wird, erfüllt das Pauli-Prinzip, denn es muss ${\epsilon \cdot \epsilon}={-\epsilon \cdot \epsilon}=0$ gelten (die Elemente sind „nilpotent“), das heißt ein gegebener Quantenzustand kann nicht zweifach angeregt (besetzt) werden.

Man stellt fest, dass sich große Teile der Analysis, linearen Algebra, Algebra, Gruppentheorie, usw. auf Superzahlen-Algebren verallgemeinern lassen. Eine detaillierte Betrachtung zeigt, dass es insbesondere möglich ist, Symmetriegruppen zu betrachten, in denen Drehwinkel nicht nur herkömmliche komplexe Zahlen, sondern auch antikommutierende Superzahlen sein können. Erstaunlicherweise ist die Idee einer derartigen fundamentalen Symmetrie ohne große Modifikationen mit dem allgemeinen Rahmenwerk der Quantenfeldtheorie kompatibel und umgehen eine der Grundannahmen des zuvor erwähnten Coleman-Mandula-Theorems. Dies liefert die Grundlage für die Vereinheitlichung von Quantenfeldern mit verschiedenem Spin, also von Materiefeldern (Fermionen) mit Kraftfeldern (Bosonen).

Das Konzept „Supersymmetrie“ ist allgemein und insbesondere nicht auf das Standardmodell eingeschränkt. Wichtig ist für eine Boson-Fermion-Symmetrie, dass für Bosonen und Fermionen gleich viele Quantenzustände existieren. Zwei wichtige Verallgemeinerungen der Supersymmetrie sind die erweiterte Supersymmetrie und die Supergravitation.

Es ist im Prinzip möglich, die Zahl der unabhängigen antikommutierenden Spinoren für Supersymmetrietransformationen zu erweitern. Man spricht in diesem Fall von einer N-Supersymmetrie mit N > 1, im einfachsten Fall also N=2. Während eine Supertransformation den Spin eines Teilchens um ½ ändert, können zwei hintereinander ausgeführte unabhängige Supertransformationen den Spin eines Teilchens um 1 ändern. Da sich die Helizität der masselosen Teilchen, wie sich allgemein zeigen lässt, im Bereich −2…2 bewegen muss (wobei Teilchen mit Helizität +2 bzw. −2 positiv bzw. negativ zirkular polarisierte Gravitonen darstellen), sind in vier Raumzeit-Dimensionen maximal acht unabhängige Supersymmetrie-Generatoren möglich (N ≤ 8), die alle Teilchen von Spin 0 bis Spin 2 in einem Multiplett vereinheitlichen, das allerdings leider unsere Welt nicht beschreiben kann.

Es stellt sich heraus, dass der Kommutator zweier globaler Supersymmetrie-Transformationen eine Raumzeit-Parallelverschiebung ergibt. Da liegt die Frage nahe, ob die Beförderung der Supersymmetrie zu einer lokalen Symmetrie, mit von Punkt zu Punkt variabler Supersymmetrie-Transformation, automatisch eine der Allgemeinen Relativitätstheorie ähnliche (Diffeomorphismen-invariante) physikalische Theorie liefert. Dies ist in der Tat der Fall, die Theorie heisst Supergravitation. Eine solche Supergravitation enthält als Eichfeld den Superpartner des Gravitons (Spin 2), das sogenannte Rarita-Schwinger-Feld mit Spin 3/2 des „Gravitinos“.

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