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Strophoide

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Die Strophoide (adjektivisches Kunstwort von griechisch στροφή, strofí - die Strophe, Wendung, Kurve, Drehung, Biegung), genauer die gerade Strophoide ist eine spezielle ebene Kurve 3. Ordnung.

Bild:Strophoide.png

Gleichungen der geraden Strophoide

Kartesische Koordinaten: $(a + x) x^2 - (a - x) y^2 \, = \, 0$

Polarkoordinaten: $r = - \frac{a \cos(2\varphi)}{\cos\varphi}$

Parametergleichung: $x = \frac{a (t^2 - 1)}{1 + t^2}; \qquad y = \frac{a t (t^2 - 1)}{1 + t^2}$

Eigenschaften der geraden Strophoide

Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt, dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze.

Die Punkte der geraden Strophoide sind gekennzeichnet durch die folgende geometrische Eigenschaft: Es seien S der Scheitelpunkt der Kurve und P ein beliebiger Kurvenpunkt, der von S verschieden ist. Bezeichnet man den von S und P verschiedenen Schnittpunkt der Geraden SP mit der Kurve als Q und den Schnittpunkt mit der y-Achse als R, so ist R von P und Q sowie vom Ursprung O gleich weit entfernt.

Die gerade Strophoide ist achsensymmetrisch bezüglich der x-Achse. Genau zwei Punkte der Kurve liegen auf der Symmetrieachse, nämlich der Ursprung und der Scheitel S mit den Koordinaten $( - a | 0)$ .

Der Ursprung des Koordinatensystems ist ein Doppelpunkt der Kurve, d.h. er wird zweimal durchlaufen. Die beiden Winkelhalbierenden der Quadranten des Koordinatensystems stimmen mit den beiden Tangenten im Ursprung überein.

Die Gerade mit der Gleichung $x = a$ (in der Skizze gestrichelt) ist Asymptote der Kurve.

Die Schleife der geraden Strophoide schließt eine Fläche mit dem Inhalt $2 a^2 - \frac{1}{2} a^2 \pi$ ein.

Die Fläche, die von der Kurve und der Asymptote begrenzt wird und sich ins Unendliche erstreckt, hat den Flächeninhalt $2 a^2 + \frac{1}{2} a^2 \pi$ .