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Steuerbarkeit

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Ein System ist steuerbar, wenn ein Zustand in endlicher Zeit durch geeignete Stellsignale zu jedem beliebigen Wert geführt werden kann, d.h. es müssen repräsentative Stellsignale zur Festlegung aller Zustände vorhanden sein.

Inhaltsverzeichnis

Mathematisch

Steuerbarkeit trifft zu, wenn s_i^T*b \neq0 oder detQ_s\neq0 mit Qs = [b,A * b,A2 * b,...,An − 1 * b]. Werden die Zustandsgrößen nicht durch den Eingangsvektor beeinflusst, ist das System nicht steuerbar. Steuerbar ist ein lineares zeitinvariantes System ,wenn rang[B | A * B | ... | An − 1 * B] = n s1 = [B | A * B | ... | An − 1 * B] (nxn*r) Hypermatrix muss n lineare unabhängige Spaltenvektoren enthalten und |s_1|\neq0 muss vollen Rang haben.

Zustandssteuerbar

Vollständig zustandssteuerbar (teilweise auch Erreichbarkeit genannt) heißt ein lineares System, wenn es für jeden Anfangszustand x(t0) eine Steuerfunktion u(t) gibt, die das System innerhalb einer beliebigen endlichen Zeitspanne t_0\leq t \leq t_e in einen beliebigen Endzustand x(te) überführt.

Steuerbarkeitskriterium von Kalman[1]

Das System (A,B) ist genau dann vollständig steuerbar, wenn die Steuerbarkeitsmatrix SS den Rang n hat:

\mathrm{Rang}\ S_S{ }={ }n mit
S_S=\begin{pmatrix} B & AB & A^2B & ... & A^{n-1}B \end{pmatrix}

Steuerbarkeitskriterium von Gilbert [2]

Das System (diag \lambda_i, \tilde B ), dessen Zustandsraummodell in kanonischer Normalform vorliegt, ist genau dann vollständig steuerbar, wenn die Matrix \tilde B keine Nullzeile besitzt und wenn die p Zeilen \tilde b_i' , der Matrix \tilde B , die zu den kanonischen Zustandsvariablen eines p-fachen Eigenwerts gehören, linear unabhängig sind.

Mit \frac{d \tilde x(t)}{dt}=diag \lambda_i \tilde x(t), \ \tilde x (0)=V^{-1}x_0
y(t)=\tilde B \tilde x(t)
\tilde B = BV

V ist dabei die Matrix mit den Eigenvektoren.

Steuerbarkeitskriterium von Hautus [3]

Das System (A,B) ist genau dann vollständig steuerbar, wenn die Bedingung:

\mathrm{Rang}\begin{pmatrix} \lambda_i I - A & B \end{pmatrix}=n
für alle Eingenwerte λi(i = 1,2,...,n) der Matrix A erfüllt ist.

Regelungsnormalform (Frobenius-Form)

Die Regelungsnormalform kann unter anderem aus der Übertragungsfunktion: G(s)=\frac{b_0+b_1s+...+b_{n-1}s^{n-1}+b_{n}s^{n}}{a_0+a_1s+...+a_{n-1}s^{n-1}+a_{n}s^{n}} einfach bestimmt werden.

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Blockdiagramm Zustandsraumdarstellung
\begin{bmatrix} \dot x_1\\ \dot x_2\\ ...\\ \dot x_{n-1}\\ \dot x_n\\\end{bmatrix} =\underbrace{\begin{pmatrix} 0&1 & 0 & ... & 0 \\ 0&0 & 1 & ... & 0 \\ 0&0 & 0 &... & 0 \\ ...& ... &... &... &... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & ... &-a_{n-1}\\ \end{pmatrix}}_{A_R} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_{n-1}\\ x_n\\\end{bmatrix}+ \underbrace{ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ ...\\ 1\\\end{bmatrix} }_{b_R} u
y= \underbrace{ \begin{bmatrix} b_0 -b_n a_0 & b_1 -b_n a_1 & ... & b_{n-1} -b_n a_{n-1}\\ \end{bmatrix}}_{c'_R} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_{n-1}\\ x_n\\\end{bmatrix}+ \begin{matrix} \underbrace{b_n}\\ \textrm{}^{\rm d_R} \end{matrix} u.

Bzw. für nicht sprungfähige Systeme:

y= \underbrace{ \begin{bmatrix} b_0 & b_1 & ... & b_{q} & 0 &... & 0\\ \end{bmatrix}}_{c'_R} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_{n-1}\\ x_n\\\end{bmatrix}+ \begin{matrix} \underbrace{b_n}\\ \textrm{}^{\rm d_R} \end{matrix} u

Die spezielle Form von AR und bR ist hilfreich für die Analyse und die Konstruktion von Zustandsreglern.

Gründe für nicht vollständige Systeme [4]

  1. Eigenvorgänge, die nicht mit dem Eingang verbunden sind, sind nicht steuerbar.
  2. Zwei parallele Teilsysteme mit denselben dynamischen Eigenschaften sind nicht vollständig steuerbar.

Quellen

  1. ↑ [Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. S.64, 4. Aufl. Heidelberg : Springer, 2006. – ISBN 3-540-32335-X]
  2. ↑ [Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. S.73, 4. Aufl. Heidelberg : Springer, 2006. – ISBN 3-540-32335-X]
  3. ↑ [Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. S.75, 4. Aufl. Heidelberg : Springer, 2006. – ISBN 3-540-32335-X]
  4. ↑ [Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. S.76, 4. Aufl. Heidelberg : Springer, 2006. – ISBN 3-540-32335-X]

Siehe auch

Wikipedia
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