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Fallende Faktorielle

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Die Begriffe der fallenden Faktoriellen, in Symbolen

x^{\underline{m}} \qquad \mbox{oder} \qquad (x)_m,

und der steigenden Faktoriellen, in Symbolen

x^{\overline{m}} \qquad \mbox{oder} \qquad (x)^m,

treten in der Kombinatorik im Zusammenhang mit einer allgemeinen Definition des Binomialkoeffizienten auf.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen und Bedeutung

Die fallende Faktorielle x^{\underline{m}} = (x)_m ist definiert als

x^{\underline{m}} = x(x-1)(x-2) \cdots (x-m+1) = \prod_{i=0}^{m-1} (x-i).

Sie bezeichnet die Anzahl der geordneten Proben vom Umfang m ohne Wiederholung aus einer x-elementigen Teilmenge, oder äquivalent: die Variation von x Elementen zur Klasse m ohne Wiederholung. Beispielsweise gibt es (x)m Möglichkeiten, m unterscheidbare Kugeln so auf x Urnen zu verteilen, dass keine Urne mehr als eine Kugel enthält. Die steigende Faktorielle x^{\overline{m}} = (x)^m wird analog definiert:

x^{\overline{m}} = x(x+1)(x+2) \cdots (x+m-1) = \prod_{i=0}^{m-1} (x+i).

Den Zusammenhang zum Binomialkoeffizienten schaffen folgende Beziehungen:

{x \choose k} = \frac{x^{\underline{k}}}{k!} = \frac{(x)_k}{k!}, \qquad {x + k - 1 \choose k} = \frac{x^{\overline{k}}}{k!} = \frac{(x)^k}{k!}.

Um mit fallenden Faktoriellen arbeiten zu können sind folgende Beziehungen sehr hilfreich:

1^{\underline{m}} = 0
x^{\underline{1}} = x^{\overline{1}} = x
x^{\underline{0}} = 1
(-x)^{\overline{m}} = (-1)^mx^{\underline{m}}

Es gelten außerdem die rekursiven Beziehungen:

x^{\underline{m}} = x^{\underline{m-1}}(x-m+1)

oder allgemeiner:

x^{\underline{m+n}} = x^{\underline{m}}(x-m)^{\underline{n}}
xx^{\underline{m}} = x^{\underline{m+1}}+mx^{\underline{m}}

Notation

Üblicherweise wird für die fallende Faktorielle das Symbol (x)k verwendet. Da das jedoch zu Verwechslungen mit einer gebräuchlichen Notation für das Pochhammer-Symbol führen kann, verwendet man manchmal auch das Symbol x^{\underline{k}}. Entsprechendes gilt für die Notation der steigenden Faktoriellen.

Verwandte Themen

Weblinks

Wikipedia
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