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Stammfunktion

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Als Stammfunktion oder unbestimmtes Integral einer reellen Funktion f bezeichnet man eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion F' mit f übereinstimmt. Ist also f auf einem Intervall I definiert, so muss F auf I definiert und differenzierbar sein, und es muss für beliebige Werte x aus I gelten:

F'(x) \, = \, f(x)

Eine auf einem Intervall I definierte Funktion f hat unendlich viele Stammfunktionen. Ist nämlich F eine Stammfunktion von f, so ist für jede beliebige reelle Zahl C auch die durch G(x) = F(x) + C definierte Funktion G eine Stammfunktion von f. Die Bezeichnung unbestimmtes Integral bezeichnet manchmal auch die Menge aller dieser Funktionen.

Ist f eine auf dem kompakten, also endlichen und abgeschlossenen Intervall [a,b] stetige Funktion, so lässt sich mit Hilfe einer beliebigen Stammfunktion F von f das bestimmte Integral von f über [a,b] berechnen:

\int_a^b f(x) \, \mathrm dx = F(b)-F(a)

Stammfunktionen werden daher für verschiedene Berechnungen benötigt, z.B.:

Stammfunktionen einfacher Funktionen lassen sich nach einigen wenigen Regeln bestimmen. Eine Tabelle gibt eine Übersicht über die wichtigsten Funktionen und deren Stammfunktionen.

Für jede integrierbare Funktion f: \, [a,b] \to \mathbb{R} ist eine Integralfunktion F definiert durch

F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t.

Diese Funktion ist stetig, und falls auch f stetig ist, ist F nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eine Stammfunktion von f. Ist jedoch f auf [a,b] integrierbar, aber nicht überall stetig, dann gilt zwar für alle c,d aus [a,b]

\int_c^d f(t) \mathrm{d}t = F(d)-F(c),

aber F ist in diesem Falle nicht überall differenzierbar und somit keine Stammfunktion von f.

Verallgemeinerung

Der Begriff der Stammfunktion lässt sich auch auf komplexe Funktionen übertragen.

Siehe auch

Weblinks

Von „http://kefk.org/wiki/Stammfunktion“
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