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Spezielle unitäre Gruppe

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Die spezielle unitäre Gruppe der Dimension N, geschrieben SU(N), besteht aus den unitären NxN-Matrizen mit komplexen Einträgen, deren Determinante 1 beträgt.

Sie ist eine kompakte, einfache Lie-Gruppe und daher auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ferner ist sie Untergruppe der unitären Gruppe U(N), sowie der speziellen linearen Gruppe SL(N,\mathbb{C}). Das Zentrum von SU(N) ist isomorph zu \mathbb{Z}_N.

Inhaltsverzeichnis

Lie-Algebra

Die zu SU(N) korrespondierende Lie-Algebra \mathfrak{su}(N) ergibt sich bei Betrachtung des Tangentialraums am Einselement der Gruppe. Die surjektive Abbildung

f: \mathfrak{su}(N) \to SU(N),\quad\quad g\mapsto\exp{i g}

bildet ein Element der Algebra auf die Gruppe ab.

Bedeutung in der Physik

Sie spielt eine besondere Rolle in der theoretischen Physik, da das derzeitige Standardmodell der Elementarteilchenphysik mehrere SU(N)-Symmetrien aufweist. So ist die interne Symmetriegruppe des Standardmodells durch SU(3)xSU(2)xU(1) gegeben. Darüber hinaus gibt es die näherungsweise gültige SU(3)-Symmetrie zur Klassifikation von Hadronen, die aus up-, down- und strange-Quarks bestehen. Ferner ist der kompakte Anteil der speziellen orthochronen Lorentzgruppe isomorph zu SU(2)xSU(2).

Literatur

Lehrbücher

Artikel

Weblinks

Wikipedia
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