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Skolemsches Paradoxon
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Das skolemsche Paradoxon beschreibt die Paradoxie nach dem Löwenheim-Skolem-Theorem, einem Satz von Albert Thoralf Skolem und Leopold Löwenheim, innerhalb der axiomatischen Mengenlehre.
Nach dem Satz von Skolem und Löwenheim hat jedes widerspruchsfreie Axiomensystem ein höchstens abzählbares Modell, speziell gilt dies also für jedes widerspruchsfreie Axiomensystem der Mengenlehre.
Andererseits kann man aus jedem der üblichen Axiomensysteme der Mengenlehre die Existenz überabzählbarer Mengen beweisen. Diese vermeintliche Antinomie findet folgende Auflösung:
Nach dem gödelschen Unvollständigkeitssatz vermag kein Axiomensystem der Mengenlehre das inhaltliche Operieren mit Mengen adäquat zu beschreiben, d.h., es hat stets Modelle, die von den eigentlichen intendierten Mengen wesentlich verschieden sind.
Von dieser Art sind speziell die skolemschen Nichtstandardmodelle, in denen ein in Wirklichkeit abzählbares Objekt der formalen Beschreibung einer überabzählbaren Menge genügt.
Derartige Nichtstandardmodelle haben in Unabhängigkeitsuntersuchungen in der axiomatischen Mengenlehre wesentliche Anwendungen gefunden.
