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Simplex (Mathematik)

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Simplex oder n-Simplex (Mehrzahl: Simplexe und Simplizia) ist ein Begriff aus der Geometrie und beschreibt einen n-dimensionalen Körper (eigentlich ein Polytop).

Dabei ist ein Simplex das einfachste Polytop – jeder seiner Punkte erweitert es in eine andere Dimension, so dass ein n-dimensionales Simplex n + 1 Ecken besitzt. Man erzeugt ein n-Simplex aus einem (n − 1)-Simplex, indem man einen Punkt in einer weiteren Dimension hinzunimmt und alle Ecken des niedrigerdimensionalen Simplex mit diesem Punkt verbindet. Somit ergibt sich mit zunehmender Dimension die Reihe Punkt, Strecke, Dreieck, Tetraeder. Ein n-Simplex ist die Fortsetzung dieser Reihe auf n Dimensionen.

Beispiele

  • Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder (vier Ecken, vier Seitenflächen aus Dreiecken, sechs Kanten); er wird erzeugt aus einem Dreieck (2-Simplex), zu dem ein Punkt, welcher nicht in der Dreiecksebene liegt, hinzugenommen und mit allen Ecken des Dreiecks verbunden wird.
  • Ein 4-Simplex ist ein vierdimensionaler Polyeder mit fünf Ecken, zehn Seiten, zehn Dreiecksflächen und fünf begrenzenden Tetraedern.

Mathematische Beschreibung

Konkret ist ein Simplex die konvexe Hülle einer Menge von n+1 Punkten im n-dimensionalen euklidischen Raum \R^n in allgemeiner Lage, d. h. es gibt keine d-dimensionale Ebene, die mehr als d+1 dieser Punkte enthält. Das n-Simplex ist das einfachste n-dimensionale Polytop, gemessen an der Anzahl der Ecken. Nach dem Simplex ist das Simplex-Verfahren aus der linearen Optimierung benannt.

Die konvexen Hüllen von je d der n Punkte sind auch jeweils Simplizes, genannt d-Facetten. 0-Facetten heißen Punkte oder Ecken des Simplex und die 1-Facetten heißen Kanten. (n-1)-Facetten werden Seitenflächen genannt, und die n-Facette ist das gesamte n-Simplex selbst. Die Anzahl der d-Facetten des n-Simplex ist gleich dem Binomialkoeffizienten {n+1 \choose d+1}.

Ein Modell eines n-Simplex im \R^n ist durch

\{x\in\R^n\mid x_i\geq0,\, x_1+\ldots+x_n\leq1\}

gegeben, ein Modell eines regulären n-Simplex im \R^{n+1} durch

\{x\in\R^{n+1}\mid x_i\geq0,\, x_0+\ldots+x_n=1\}.

Simplexe mit einer rechtwinkligen Ecke

Eine rechtwinklige Ecke bedeutet hier, dass je 2 in dieser Ecke zusammenlaufende Kanten einen rechten Winkel bilden. Oder anders ausgedrückt, der n-Simplex hat eine Ecke an der seine an ihr anliegenden n-dimensionalen Hyperfläche zueinander orthogonal sind. Ein solches Simplex stellt eine Verallgemeinerung rechtwinkliger Dreiecke dar und in ihm gilt eine n-dimensionale Version des Satz von Pythagoras:

Die Summe der quadrierten n-dimensionalen Volumen der an der rechtwinkligen Ecke anliegenden Hyperflächen ist gleich dem quadrierten n-dimensionalen Volumen der der rechwinkligen Ecke gegenüberliegenden Hyperfläche.

\sum_{k=1}^{n} |A_{k}|^2 = |A_{0}|^2

Hierbei sind die Hyperfächen A_{1} \ldots A_{n} paarweise orthogonal zueinander aber nicht orthogonal zu der Hyperfläche A0, die der rechwinkligen Ecke gegenüberliegt.

Im Falle eines 2-Simplex entspricht dies einem rechtwinkligen Dreieck und dem Satz des Pythagoras und bei einem 3-Simplex einem Tetraeder mit einer Würfelecke und dem Satz von de Gua.

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