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Sesquilinearform
Aus Kefk.
Als Sesquilinearform (lat. sesqui = anderthalb) bezeichnet man in der linearen Algebra eine Funktion, die zwei Vektoren einen Skalarwert zuordnet, und die linear in einem, semilinear im anderen ihrer beiden Argumente ist.
Die beiden Argumente können verschiedenen Vektorräumen V, W entstammen, denen jedoch ein gemeinsamer Skalarkörper K zugrundeliegen muss; eine Sesquilinearform ist eine Abbildung f : V × W → K; sie ist eine Linearform bezüglich dem einen und eine Semilinearform bezüglich dem anderen Argument. Für die Reihenfolge von linearem und semilinearem Argument gibt es unterschiedliche Konventionen; in der Physik ist es üblich, das semilineare Argument zuerst zu nennen.
Relevant ist der Begriff Sesquilinearform nur über dem Körper der komplexen Zahlen C; über den reellen Zahlen ist jede Sesquilinearform eine Bilinearform.
Definition
Es seien V,W Vektorräume über den komplexen Zahlen.
Eine Abbildung
heißt Sesquilinearform, wenn S semilinear im ersten und linear im zweiten Argument ist, d. h.
und
dabei sind 
, 
und 
.
Manchmal wird stattdessen auch Linearität im ersten und Semilinearität im zweiten Argument gefordert; dieser Unterschied ist jedoch rein formaler Natur.
Diese Definition lässt sich auch auf Vektorräume über anderen Körpern oder Moduln über einem Ring verallgemeinern, sobald auf dem Grundkörper bzw. -ring ein ausgezeichneter Automorphismus oder zumindest Endomorphismus
gegeben ist. Ein Kandidat für derartige Endomorphismen ist der Frobeniushomomorphismus in positiver Charakteristik.
Beispiele
Das innere Produkt über einem komplexen Vektorraum ist eine Sesquilinearform mit Hermitescher Symmetrie, also sogar eine Hermitesche Form, siehe auch Kreinraum.
