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Sekans und Kosekans

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Sekans und Kosekans sind trigonometrische Funktionen.

Sekans:    f(x) = \sec (x) \,
Kosekans:    f(x) = \csc (x) \,

Inhaltsverzeichnis


Bild:Trigonometrie.svg
Definition am Einheitskreis

Die Funktionen haben ihren Namen durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge von Sekantenabschnitten:

\overline{OT} = \operatorname{sec}(b) \qquad\qquad \overline{OK} = \operatorname{csc}(b)
Bild:RechtwinkligesDreieck.png

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sekans das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete und damit die Kehrwertfunktion der Kosinusfunktion.

Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete und damit die Kehrwertfunktion der Sinusfunktion:

\sec (\alpha) = \frac{l_{\rm Hy}}{l_{\rm AK}} = \frac{c}{b} \qquad \qquad \csc (\alpha) = \frac{l_{\rm Hy}}{l_{\rm GK}} = \frac{c}{a}
\operatorname{sec}(x)=\frac{1}{\cos(x)} \qquad\qquad \csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}


Eigenschaften

Verlauf

Bild:Sekans.svg
Graph der Sekansfunktion
Bild:Kosekans.svg
Graph der Kosekansfunktion

Definitionsbereich

Sekans:    -\infty < x < +\infty \quad ; \quad x \ne \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,;\,n\in\mathbb{Z}
Kosekans:    -\infty < x < +\infty \quad ; \quad x \ne n \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}

Wertebereich

-\infty < f(x) \le -1 \quad ; \quad 1 \le f(x) < +\infty

Periodizität

Periodenlänge 2 \cdot \pi \,:\, f(x+2\pi) = f(x)

Monotonie

streng monoton fallende und streng monoton steigende Abschnitte.

Symmetrien

Sekans:    Gerade Funktion: f(x) = f( − x)
Kosekans:    Ungerade Funktion: f( − x) = − f(x)

Polstellen

Sekans:    x = \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,;\,n\in\mathbb{Z}
Kosekans:    x = n \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}

Extremwerte

Sekans:    Minima:  x = \left( 2n + \frac{1}{2} \right) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z} Maxima:  x = \left( 2n - \frac{1}{2} \right) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}
Kosekans:    Minima:  x = 2n \cdot \pi \,;\, n \in \mathbb{Z} Maxima:  x = (2n - 1) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}

Weder die Sekansfunktion noch die Kosekansfunktion haben Asymptoten, Sprungstellen, Wendepunkte oder Nullstellen.

Umkehrfunktionen

Sekans:

Auf einer halben Periodenlänge, z.B. x \in [0 , \pi] ist die Funktion umkehrbar (Arkussekans):
x = \operatorname{arcsec}(y)


Kosekans

Auf einer halben Periodenlänge, z.B. x \in \left[-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right] ist die Funktion umkehrbar (Arkuskosekans):
x = \operatorname{arccsc}(y)

Reihenentwicklung

Sekans:

\sec(x) = \pi \, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k(8k+4)} {(2k+1)^2 \pi^2 - 4 x^2 }


Kosekans:

\csc(x) = \frac{1}{x} - 2x \, \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k} {k^2\pi^2-x^2}

Ableitung

Sekans:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{sec}(x) = \operatorname{sec}(x) \cdot \tan(x) = \frac{\operatorname{sec}^2(x)}{\operatorname{csc}(x)}


Kosekans

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{csc}(x) = - \operatorname{csc}(x) \cdot \cot(x) = \frac{\operatorname{csc}^2(x)}{\operatorname{sec}(x)}

Integral

Sekans:

\int\sec(x)\,dx=\ln\left(\frac{1+\sin(x)}{\cos(x)}\right)=\ln\left(\sec(x)+\tan(x)\right)

Kosekans

\int\csc(x)\,dx=\ln\left(\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}\right)

Siehe auch

Bild:F of x.svg
Trigonometrische und Arkusfunktionen

Sinus | Kosinus | Tangens | Kotangens | Sekans | Kosekans

Arkussinus | Arkuskosinus | Arkustangens | Arkuskotangens | Arkussekans | Arkuskosekans

 
Wikipedia
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Von „http://www.kefk.org/wiki/Sekans_und_Kosekans“
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