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Sehnensatz

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Der Sehnensatz besagt: Schneiden zwei Sehnen einander in einem Punkt S, so ist das Produkt der jeweiligen Sehnenabschnitte gleich.
Bild:Sehnensatz2.PNG

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sehnen die sich in einem Punkt S schneiden. Bezeichnet man die Berührungspunkte des Kreises mit der einen Sehne als A beziehungsweise C und die andere Sehne B beziehungsweise D, so gilt:

\overline{AS} \cdot \overline{CS} = \overline{BS} \cdot \overline{DS} \Rightarrow a \cdot c = b \cdot d

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

\overline{AS} : \overline{DS} = \overline{BS} : \overline{CS} \Rightarrow {a \over d}={b \over c}

Beweis siehe Weblinks unten.


Umgekehrt gilt auch:

Wenn für die Diagonalen eines Vierecks ABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt S gilt:

\overline {AS} \cdot \overline {CS} = \overline {BS} \cdot \overline {DS} \Rightarrow a \cdot c = b \cdot d

dann besitzt dieses Viereck einen Umkreis.


Weblinks

<imagemap>-Fehler: Bild ist ungültig oder nicht vorhanden Wikibooks: Beweis des Sehnensatzes – Lern- und Lehrmaterialien
Von „http://www.kefk.org/wiki/Sehnensatz“
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