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Schwache Topologie
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Der Begriff schwache Topologie bezeichnet in der Mathematik eine spezielle Topologie auf normierten Vektorräumen und gehört zu den wichtigsten Konzepten der Funktionalanalysis. Eine in der schwachen Topologie konvergente Folge wird als schwach konvergent bezeichnet.
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Die schwache Topologie auf einem normierten Vektorraum
Sind E ein normierter Vektorraum und 
sein topologischer Dualraum, so nennt man die Initialtopologie von E bezüglich die schwache Topologie auf E.
Die schwache Topologie ist also die gröbste Topologie bezüglich derer alle normstetigen linearen Funktionale stetig sind. Eine andere Formulierung ist, dass die Urbilder der normstetigen linearen Funktionale eine Subbasis der schwachen Topologie bilden. Konkret bedeutet dies, dass man die offenen Mengen auf E wie folgt konstruiert:
- Bilde alle Urbilder
für 
und 
bzw. 
offen,
- bilde alle endlichen Durchschnitte der Mengen aus dem ersten Schritt,
- bilde alle Vereinigungen (auch unendliche) der Mengen aus dem zweiten Schritt.
Dies sind alle offenen Mengen der schwachen Topologie auf E.
Eigenschaften
- Die schwache Topologie ist gröber als die durch die Norm induzierte Topologie (Normtopologie oder starke Topologie).
- Andererseits ist sie auf Funktionenräumen feiner als die Topologie der punktweisen Konvergenz (Produkttopologie).
- Die abgeschlossene Einheitskugel von E ist genau dann schwach kompakt, wenn E ein reflexiver Banachraum ist.
- Der Raum E mit der schwachen Topologie ist ein Hausdorffraum.
- Versieht man E mit der schwachen Topologie, dann bleiben Addition und Skalarmultiplikation stetige Verknüpfungen, und E ist ein lokalkonvexer Raum.
- In lokal konvexen topologischen Vektorräumen sind abgeschlossene und konvexe Teilmenge schwach abgeschlossen.
Konvergenz in der schwachen Topologie
Eine Folge 
in einem normierten Vektorraum E heißt schwach konvergent, wenn sie bezüglich der schwachen Topologie auf E konvergiert.
Eigenschaften
Die Folge konvergiert genau dann schwach gegen 
, wenn 
in 
bzw. für alle stetigen linearen Funktionale 
gilt ( ist der topologische Dualraum zu E).
Da E bezüglich der schwachen Topologie ein Hausdorffraum ist, ist der schwache Grenzwert, falls er überhaupt existiert, eindeutig.
Jede stark konvergente Folge (konvergent in der Norm) ist auch schwach konvergent, im allgemeinen aber nicht umgekehrt.
Nach dem Satz von Masur besitzt in normierten Vektorräumen jede schwach konvergente Folge eine normkonvergente Folge von Konvexkombinationen der Folgenglieder.
Merkregel zum Begriff "schwach" in der Funktionalanalysis
"Schwach" bedeutet soviel wie "Alle stetigen Linearformen denken dass...".
Beispiele:
- Eine Folge ist genau dann schwach konvergent, wenn sie bzgl. aller stetigen Linearformen konvergiert.
- Eine Menge ist genau dann schwach kompakt, wenn jede Folge daraus eine bzgl. aller stetigen Linearformen konvergente Teilfolge besitzt.
- Eine Menge ist genau dann schwach beschränkt, wenn das Supremum aller beim Anwenden von stetigen Linearformen auf alle Elemente der Menge resultierenden Zahlen endlich ist (wegen des Satzes von Banach-Steinhaus ist jede schwach beschränkte Menge immer normbeschränkt).
Verwandte Begriffe
- Schwach*-Topologie: Dies ist die Initialtopologie auf , welche von den Elementen von E erzeugt wird, wenn man sie mit Funktionalen auf identifiziert. Sie ist noch gröber als die schwache Topologie auf . Eine wichtige Aussage zur schwach*-Topologie ist der Satz von Banach-Alaoğlu.
Quelle
- Harro Heuser: Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. 3. Auflage. Teubner-Verlag, 1992, ISBN 3-519-22206-X, dort
- S. 348: Definition der Schwachen Topologie,
- S. 331f: Schwache Konvergenz in normierten Räumen.
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