Satz von der majorisierten Konvergenz
Aus Kefk
Der Satz von der majorisierten Konvergenz (auch Satz von der majorisierenden Konvergenz, Satz von der dominierten Konvergenz oder Satz von Lebesgue) ist eine zentrale Grenzwertaussage in der Maß- und Integrationstheorie und geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück.
Er besagt im wesentlichen, dass die Grenzfunktion einer 
-fast-überall konvergenten Folge von -integrierbaren Funktionen auf einem Maßraum 
, selbst wieder -integrierbar ist, wenn die Folgenglieder von einer positiven -integrierbaren Funktion g majorisiert (oder "dominiert") werden. Dabei konvergiert die Folge der Integrale der Folgenglieder gegen das Integral des Grenzfunktion.
Der Satz bedeutet auch, dass in solch einem Fall die Integralbildung und die Grenzwertbildung vertauscht werden können.
Der Satz formal in seiner allgemeinsten Form
Sei ein Maßraum und sei 
eine Folge von Funktionen, die auf 
-integrierbar sind.
Weiter konvergiere die Folge -fast überall gegen eine -messbare Funktion f und die Folge werde von einer -integrierbaren Funktion 
auf majorisiert, d.h., für alle 
gilt 
-fast überall.
Dann ist auch f -integrierbar und es gilt:
.
Notwendigkeit der Voraussetzung
Die Voraussetzung der Majorisierbarkeit 
ist nötig. Ein Beispiel ist folgende Folge 
: ![q_n : [0,1] \rightarrow\mathbb{R}, q_n := n \chi_{[0,{1\over n}]}](/w/images/math/a/5/c/a5c7bd967c41f8f56061fc6383142373.png)
. Für qn gilt:
und daher ![\lim \int_{[0,1]} q_n = \lim 1 = 1 \ne 0 = \int_{[0,1]} 0 = \int_{[0,1]} \lim q_n](/w/images/math/c/c/f/ccf495a5236cf75e90fc7aa230e5048a.png)
.
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