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Satz von Stokes

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Bild:Disambig-dark.svg Dieser Artikel bezieht sich auf den Stokesschen Integralsatz. Weitere Gesetzmäßigkeiten, Regeln und Sätze, die der Physiker und Mathematiker Sir George Gabriel Stokes aufgestellt hat, unter Stokessche Gesetze.

Der Satz von Stokes oder Stokesscher Integralsatz (nach Sir George Gabriel Stokes) ist ein Ergebnis aus der Differentialgeometrie. In seiner allgemeinsten Form handelt es sich um einen Satz über die Integration von Differentialformen, der den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verallgemeinert. Häufig werden aber speziellere Varianten angegeben, der wichtigste Spezialfall ist der gaußsche Integralsatz.

Inhaltsverzeichnis

Formulierung des Satzes

Sei M eine orientierte n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abschnittsweise glattem Rand \partial M mit induzierter Orientierung. Dies ist für die meisten anschaulichen Beispiele, wie die Vollkugel mit Rand (Sphäre), gegeben.

Sei ferner ω eine stetig differenzierbare Differentialform vom Grad n-1.

Dann gilt

\int\limits_M \mathrm{d}\omega = \int\limits_{\partial M} \omega

wobei d die Cartan-Ableitung bezeichnet.

Spezialfälle

Mehrere Spezialfälle des Satzes von Stokes sind in der klassischen Vektoranalysis von Bedeutung.

Ist M eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des dreidimensionalen euklidischen Raumes \mathbb{R}^3 und \partial M ihr Rand (z. B. eine Fläche und die sie umschließende Kurve), so kann man den Satz zu einer Aussage über die Rotation eines Vektorfeldes \vec F umschreiben:

\int\limits_{M} (\operatorname{rot}\;\vec{F}) \cdot \mathrm{d}\vec{A} = \oint\limits_{\partial M} \vec {F} \cdot \mathrm{d}\vec {r}

Oft wird diese spezielle Version schon als Satz von Stokes bezeichnet, besonders in der Physik und den Ingenieurswissenschaften. Hier ist üblicherweise \partial M eine geschlossene Kurve und M die von ihr umschlossene Fläche. Andere Bezeichnungen sind Satz von Kelvin-Stokes oder Rotationssatz.

Für eine kompakte Teilmenge M des \mathbb{R}^n und ein Vektorfeld \vec F erhält man als einen weiteren wichtigen Spezialfall den gaußschen Integralsatz.

Bedeutung

Der Satz von Stokes ist von fundamentaler Bedeutung in der Differentialgeometrie. Darüber hinaus finden er und seine Spezialfälle in vielen Bereichen der Physik Anwendung, beispielsweise in der Elektrodynamik.

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