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Satz von Schwarz

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Der Satz von Schwarz ist ein Satz der Mathematik in der Differentialrechnung mehrerer Variablen. Er ist benannt nach Hermann Amandus Schwarz.

Inhaltsverzeichnis

Beschreibung

Der Satz von Schwarz besagt, dass für zweimal stetig differenzierbare Funktionen die Reihenfolge der partiellen Differentiation (Ableitung) nicht entscheidend für das Ergebnis ist. Tatsächlich sagt er noch mehr aus, weil er aus der Existenz der ersten partiellen Ableitungen und einer partiellen zweiten Ableitung die Existenz und den Wert einer anderen partiellen zweiten Ableitung herleitet.

Der Satz

Sei U \subseteq \mathbb{R}^2 offene Menge und f: U \to \mathbb{R} einmal stetig differenzierbare Funktion in den zwei Variablen x,y. Wenn die eine zweite partielle Ableitung \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) existiert und stetig ist, dann existiert auch die andere zweite partielle Ableitung \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right), diese ist stetig und es gilt:

\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right).

Insbesondere ist f \in C^2(U,\mathbb{R}), also zweimal stetig differenzierbar.

Andere Schreibweisen und Formulierungen

Oft werden die Klammern weggelassen und man schreibt kürzer:

\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} oder auch {f_{xy}\;=\;f_{yx}}.

Wenn man die partielle Differentiation als Abbildung von C^{2}(U,\mathbb{R}) nach C^{1}(U,\mathbb{R}) und von C^{1}(U,\mathbb{R}) nach C^{0}(U,\mathbb{R}) auffasst, kann man sogar noch kürzer schreiben:

\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2}{\partial y\partial x} oder auch \partial_1 \partial_2 = \partial_2 \partial_1.

Der Satz von Schwarz sagt auch aus, dass die Hesse-Matrix symmetrisch ist.

Fasst man f \in C^2(U,\mathbb{R}) als differenzierbare 0-Form auf und schreibt d für die äußere Ableitung, so hat der Satz von Schwarz die unschlagbar kurze Form d(df) = 0.

Sonstiges

Der Satz von Schwarz heißt auch Satz von Clairaut (nach Alexis Clairaut). Er ist nicht zu verwechseln mit dem Lemma von Schwarz aus der komplexen Analysis.

Weblinks

Von „http://www.kefk.org/wiki/Satz_von_Schwarz“
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