Das Kefk Network Wiki befindet sich im Testbetrieb.

Satz von Radon-Nikodym

Aus Kefk.

In der Mathematik verallgemeinert der Satz von Radon-Nikodym die Ableitung auf signierte Maße. Er gibt Auskunft über die Darstellbarkeit eines signierten Maßes $\nu\!$ durch das Lebesgue-Integral einer Funktion $f\!$ und ist von zentraler Bedeutung sowohl für die Maß- als auch die Wahrscheinlichkeitstheorie.

Sei $μ$ ein σ-endliches Maß auf dem Messraum $(X,\mathcal{A})$ und sei $ν$ absolut stetig bezüglich $μ$ ( $\nu \ll \mu$ ) für ein signiertes Maß $ν$ .

Dann gibt es eine $μ$ -fast überall eindeutige Funktion f, so dass

$\forall E \in \mathcal{A}: \nu(E) = \int_{E} f \mathrm{d}\mu$

f wird als (Radon-Nikodym-)Dichte oder Radon-Nikodym-Ableitung von $ν$ bezüglich $μ$ bezeichnet und in Analogie zur Differentialrechnung als $\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}$ geschrieben.

Benannt ist der Satz nach dem österreichischen Mathematiker Johann Radon, der 1913 den Spezialfall $\R^n$ bewiesen hat, und nach Otton Marcin Nikodym, der den allgemeinen Fall 1930 bewiesen hat.